Номер 939, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 939, страница 186.

939. Докажите, что ни при каком целом n значение выражения (2n + 1)(n + 5) − 2(n + 3)(n − 3) − (5n + 13) не делится на 6.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо упростить данное выражение. Для этого последовательно раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$.

Выполним преобразования по шагам:

1. Раскроем произведение в первой части: $(2n + 1)(n + 5) = 2n \cdot n + 2n \cdot 5 + 1 \cdot n + 1 \cdot 5 = 2n^2 + 10n + n + 5 = 2n^2 + 11n + 5$.

2. Во второй части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $-2(n + 3)(n - 3) = -2(n^2 - 3^2) = -2(n^2 - 9) = -2n^2 + 18$.

3. Раскроем последнюю скобку: $-(5n + 13) = -5n - 13$.

4. Теперь объединим все полученные части и приведем подобные члены:

$(2n^2 + 11n + 5) + (-2n^2 + 18) + (-5n - 13) = 2n^2 + 11n + 5 - 2n^2 + 18 - 5n - 13$

Сгруппируем слагаемые с одинаковой степенью переменной $n$:

$(2n^2 - 2n^2) + (11n - 5n) + (5 + 18 - 13) = 0 + 6n + 10 = 6n + 10$.

Итак, мы показали, что исходное выражение тождественно равно выражению $6n + 10$.

Теперь нам нужно доказать, что значение выражения $6n + 10$ не делится на 6 ни при каком целом $n$.

Рассмотрим слагаемые в выражении $6n + 10$:

• Первое слагаемое, $6n$, всегда делится на 6 без остатка, так как оно содержит множитель 6, а $n$ — целое число.
• Второе слагаемое, 10, при делении на 6 даёт остаток 4 (поскольку $10 = 6 \cdot 1 + 4$).

Сумма выражения, которое делится на 6, и числа, которое при делении на 6 даёт остаток 4, будет также давать остаток 4 при делении на 6. Мы можем это показать, представив выражение в виде:

$6n + 10 = 6n + 6 + 4 = 6(n+1) + 4$.

Поскольку $n$ — целое число, то $n+1$ также является целым числом. Обозначим $k = n+1$. Тогда наше выражение примет вид $6k + 4$. Это форма записи числа, которое при делении на 6 дает остаток 4.

Так как остаток от деления (равный 4) отличен от нуля, значение выражения $6n + 10$ никогда не делится на 6 нацело.

Ответ: Утверждение доказано, так как исходное выражение равно $6n + 10$, которое при делении на 6 всегда дает остаток 4.