Номер 940, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 37. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 940, страница 187.

Условие.

940. (Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение

(n + 8)(n − 4) − (n + 3)(n − 2) − 1 − ...

пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом n делится на 3.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3) Впишите вместо многоточия каждый какое−либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

Решение 1.

(n + 8)(n − 4) − (n + 3)(n − 2) +5 =
= n² - 4n + 8n - 32 -
- (n² - 2n + 3n - 6) + 5 =
= n² + 4n - 32 - (n² + n - 6) + 5 =
= n² + 4n - 32 - n² - n + 6 + 5 =
= 3n - 21 = 3(n - 7)

3n - 26 + 2 = 3n - 24 = 3(n - 8)

3n - 26 + 8 = 3n - 18 = 3(n - 6) и т.д.

Полученное число p вычисляется по формуле p = 3n - 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.

Сначала раскроем скобки в каждом произведении двучленов, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого).
Первое произведение:
$(n + 8)(n - 4) = n \cdot n - 4 \cdot n + 8 \cdot n - 8 \cdot 4 = n^2 + 4n - 32$
Второе произведение:
$(n + 3)(n - 2) = n \cdot n - 2 \cdot n + 3 \cdot n - 3 \cdot 2 = n^2 + n - 6$
Теперь выполним вычитание полученных многочленов:
$(n^2 + 4n - 32) - (n^2 + n - 6) = n^2 + 4n - 32 - n^2 - n + 6$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$(n^2 - n^2) + (4n - n) + (-32 + 6) = 0 + 3n - 26 = 3n - 26$

Ответ: $3n - 26$.

2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.

Пусть пропущенное число равно $x$. Тогда все выражение можно записать как:
$(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + x$
Используя результат из первого пункта, мы можем упростить это выражение до:
$3n - 26 + x$
По условию задачи, это выражение должно делиться на 3 для любого целого числа $n$.
Рассмотрим получившуюся сумму $3n + (-26 + x)$.
Первое слагаемое, $3n$, всегда делится на 3 при любом целом $n$, так как оно содержит множитель 3.
Чтобы вся сумма делилась на 3, необходимо, чтобы второе слагаемое, которое не зависит от $n$, то есть $(-26 + x)$, также делилось на 3.
Следовательно, пропущенное число $x$ должно быть таким, чтобы сумма $(-26 + x)$ была кратна 3.

Ответ: Пропущенное число $x$ должно быть таким, чтобы выражение $(-26 + x)$ делилось на 3.

3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.

Нам нужно найти такое целое число $x$, для которого $(-26 + x)$ делится на 3.
Это значит, что $(-26 + x) = 3k$ для некоторого целого числа $k$.
Чтобы найти подходящее $x$, найдем остаток от деления -26 на 3.
$-26 = -27 + 1 = 3 \cdot (-9) + 1$. Остаток равен 1.
Тогда выражение $(-26 + x)$ будет делиться на 3, если остаток от деления $x$ на 3 будет равен 2, так как $1 + 2 = 3$, а 3 делится на 3.
Числа, которые дают в остатке 2 при делении на 3, имеют вид $3m + 2$, где $m$ — любое целое число.
Например, возьмем $m=0$, тогда $x=2$. Проверим: $-26 + 2 = -24$, и $-24$ делится на 3.
Возьмем $m=1$, тогда $x=5$. Проверим: $-26 + 5 = -21$, и $-21$ делится на 3.
Возьмем $m=-1$, тогда $x=-1$. Проверим: $-26 + (-1) = -27$, и $-27$ делится на 3.
Любое из этих чисел (2, 5, 8, ..., -1, -4, ...) подходит. Выберем для примера число 2.

Ответ: 2 (или любое другое число вида $3m+2$, где $m$ - целое).

4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

Проверим решение, подставив выбранное в пункте 3 число (например, 2) в исходное выражение.
Выражение принимает вид: $(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + 2$.
Мы уже упростили часть этого выражения в пункте 1, поэтому можем записать:
$(3n - 26) + 2 = 3n - 24$
Теперь нужно проверить, делится ли $3n - 24$ на 3 при любом целом $n$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3n - 24 = 3(n - 8)$
Поскольку $n$ — целое число, то и разность $(n - 8)$ является целым числом.
Полученное выражение $3(n - 8)$ является произведением числа 3 на целое число, следовательно, оно всегда делится на 3 без остатка.
Вывод: число 2 подобрано верно, и задание выполнено правильно.

Ответ: Задание выполнено правильно, выбранное число 2 удовлетворяет условию задачи.