Страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

940. (Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение

пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом n делится на 3.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3) Впишите вместо многоточия каждый какое−либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.

Сначала раскроем скобки в каждом произведении двучленов, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого).
Первое произведение:
$(n + 8)(n - 4) = n \cdot n - 4 \cdot n + 8 \cdot n - 8 \cdot 4 = n^2 + 4n - 32$
Второе произведение:
$(n + 3)(n - 2) = n \cdot n - 2 \cdot n + 3 \cdot n - 3 \cdot 2 = n^2 + n - 6$
Теперь выполним вычитание полученных многочленов:
$(n^2 + 4n - 32) - (n^2 + n - 6) = n^2 + 4n - 32 - n^2 - n + 6$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$(n^2 - n^2) + (4n - n) + (-32 + 6) = 0 + 3n - 26 = 3n - 26$

Ответ: $3n - 26$.

2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.

Пусть пропущенное число равно $x$. Тогда все выражение можно записать как:
$(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + x$
Используя результат из первого пункта, мы можем упростить это выражение до:
$3n - 26 + x$
По условию задачи, это выражение должно делиться на 3 для любого целого числа $n$.
Рассмотрим получившуюся сумму $3n + (-26 + x)$.
Первое слагаемое, $3n$, всегда делится на 3 при любом целом $n$, так как оно содержит множитель 3.
Чтобы вся сумма делилась на 3, необходимо, чтобы второе слагаемое, которое не зависит от $n$, то есть $(-26 + x)$, также делилось на 3.
Следовательно, пропущенное число $x$ должно быть таким, чтобы сумма $(-26 + x)$ была кратна 3.

Ответ: Пропущенное число $x$ должно быть таким, чтобы выражение $(-26 + x)$ делилось на 3.

3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.

Нам нужно найти такое целое число $x$, для которого $(-26 + x)$ делится на 3.
Это значит, что $(-26 + x) = 3k$ для некоторого целого числа $k$.
Чтобы найти подходящее $x$, найдем остаток от деления -26 на 3.
$-26 = -27 + 1 = 3 \cdot (-9) + 1$. Остаток равен 1.
Тогда выражение $(-26 + x)$ будет делиться на 3, если остаток от деления $x$ на 3 будет равен 2, так как $1 + 2 = 3$, а 3 делится на 3.
Числа, которые дают в остатке 2 при делении на 3, имеют вид $3m + 2$, где $m$ — любое целое число.
Например, возьмем $m=0$, тогда $x=2$. Проверим: $-26 + 2 = -24$, и $-24$ делится на 3.
Возьмем $m=1$, тогда $x=5$. Проверим: $-26 + 5 = -21$, и $-21$ делится на 3.
Возьмем $m=-1$, тогда $x=-1$. Проверим: $-26 + (-1) = -27$, и $-27$ делится на 3.
Любое из этих чисел (2, 5, 8, ..., -1, -4, ...) подходит. Выберем для примера число 2.

Ответ: 2 (или любое другое число вида $3m+2$, где $m$ - целое).

4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

Проверим решение, подставив выбранное в пункте 3 число (например, 2) в исходное выражение.
Выражение принимает вид: $(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + 2$.
Мы уже упростили часть этого выражения в пункте 1, поэтому можем записать:
$(3n - 26) + 2 = 3n - 24$
Теперь нужно проверить, делится ли $3n - 24$ на 3 при любом целом $n$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3n - 24 = 3(n - 8)$
Поскольку $n$ — целое число, то и разность $(n - 8)$ является целым числом.
Полученное выражение $3(n - 8)$ является произведением числа 3 на целое число, следовательно, оно всегда делится на 3 без остатка.
Вывод: число 2 подобрано верно, и задание выполнено правильно.

Ответ: Задание выполнено правильно, выбранное число 2 удовлетворяет условию задачи.

941. Решите уравнение:
а) х(х + 2)(х − 2) − х(х² − 8) = 16;
б) 2у(4у − 1) − 2(3 − 2у)² = 48.

а) $x(x + 2)(x - 2) - x(x^2 - 8) = 16$

В левой части уравнения для выражения $(x + 2)(x - 2)$ применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$x(x^2 - 4) - x(x^2 - 8) = 16$

Теперь раскроем скобки, умножая $x$ на каждый член в скобках:

$x \cdot x^2 - x \cdot 4 - (x \cdot x^2 - x \cdot 8) = 16$

$x^3 - 4x - (x^3 - 8x) = 16$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные:

$x^3 - 4x - x^3 + 8x = 16$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.

$(x^3 - x^3) + (-4x + 8x) = 16$

$4x = 16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{16}{4}$

$x = 4$

Ответ: $x=4$

б) $2y(4y - 1) - 2(3 - 2y)^2 = 48$

Для упрощения разделим каждый член уравнения на 2:

$\frac{2y(4y - 1)}{2} - \frac{2(3 - 2y)^2}{2} = \frac{48}{2}$

$y(4y - 1) - (3 - 2y)^2 = 24$

Теперь раскроем скобки в левой части. Для выражения $(3 - 2y)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y(4y - 1) = 4y^2 - y$

$(3 - 2y)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2y + (2y)^2 = 9 - 12y + 4y^2$

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

$(4y^2 - y) - (9 - 12y + 4y^2) = 24$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$4y^2 - y - 9 + 12y - 4y^2 = 24$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $4y^2$ и $-4y^2$ взаимно уничтожаются.

$(4y^2 - 4y^2) + (-y + 12y) - 9 = 24$

$11y - 9 = 24$

Перенесем -9 в правую часть уравнения, изменив знак на плюс:

$11y = 24 + 9$

$11y = 33$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 11:

$y = \frac{33}{11}$

$y = 3$

Ответ: $y=3$

942. Решите уравнение:
а) х²(х + 2) − х(х + 1)² = 5х + 9;
б) (у − 3)² + 3(у + 2)(у − 2) = 9 + 4у².

а) $x^2(x + 2) - x(x + 1)^2 = 5x + 9$

Для решения этого уравнения раскроем скобки в левой части. Сначала раскроем множители, используя распределительный закон и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Раскрываем первое слагаемое: $x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2$.

Раскрываем второе слагаемое: $x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(x^3 + 2x^2) - (x^3 + 2x^2 + x) = 5x + 9$

Раскроем скобки, меняя знаки у слагаемых во второй скобке на противоположные:

$x^3 + 2x^2 - x^3 - 2x^2 - x = 5x + 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Слагаемые $x^3$ и $2x^2$ взаимно уничтожаются:

$(x^3 - x^3) + (2x^2 - 2x^2) - x = 5x + 9$

$-x = 5x + 9$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемое $5x$ в левую часть с противоположным знаком:

$-x - 5x = 9$

$-6x = 9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-6$:

$x = \frac{9}{-6} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $-1.5$

б) $(y - 3)^2 + 3(y + 2)(y - 2) = 9 + 4y^2$

Для решения этого уравнения раскроем скобки в левой части. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Раскрываем первое слагаемое: $(y - 3)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = y^2 - 6y + 9$.

Раскрываем второе слагаемое: $3(y + 2)(y - 2) = 3(y^2 - 2^2) = 3(y^2 - 4) = 3y^2 - 12$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(y^2 - 6y + 9) + (3y^2 - 12) = 9 + 4y^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$y^2 - 6y + 9 + 3y^2 - 12 = 9 + 4y^2$

$(y^2 + 3y^2) - 6y + (9 - 12) = 9 + 4y^2$

$4y^2 - 6y - 3 = 9 + 4y^2$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Слагаемое $4y^2$ из правой части перейдет в левую со знаком минус, а $-3$ из левой части перейдет в правую со знаком плюс:

$4y^2 - 4y^2 - 6y = 9 + 3$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $4y^2$ взаимно уничтожаются:

$-6y = 12$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $-6$:

$y = \frac{12}{-6} = -2$

Ответ: $-2$

943. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения переменная исчезнет и останется только число, то утверждение будет доказано.

а) Упростим выражение $(a-1)(a^2+1)(a+1) - (a^2-1)^2 - 2(a^2-3)$.

1. Сначала рассмотрим произведение $(a-1)(a^2+1)(a+1)$. Перегруппируем множители: $((a-1)(a+1))(a^2+1)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$(a-1)(a+1) = a^2 - 1^2 = a^2-1$.
Теперь выражение выглядит так: $(a^2-1)(a^2+1)$. Снова применим формулу разности квадратов:
$(a^2-1)(a^2+1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4-1$.

2. Теперь раскроем скобки в выражении $(a^2-1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^2-1)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4 - 2a^2 + 1$.

3. Раскроем скобки в выражении $2(a^2-3)$:
$2(a^2-3) = 2a^2 - 6$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(a^4-1) - (a^4 - 2a^2 + 1) - (2a^2 - 6)$.

5. Раскроем все скобки, учитывая знаки, и приведем подобные слагаемые:
$a^4 - 1 - a^4 + 2a^2 - 1 - 2a^2 + 6 = (a^4 - a^4) + (2a^2 - 2a^2) + (-1 - 1 + 6) = 0 + 0 + 4 = 4$.

Значение выражения равно 4, оно не зависит от переменной $a$.
Ответ: 4.

б) Упростим выражение $(a^2-3)^2 - (a-2)(a^2+4)(a+2) - 6(5-a^2)$.

1. Раскроем первую скобку $(a^2-3)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^2-3)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = a^4 - 6a^2 + 9$.

2. Упростим произведение $(a-2)(a^2+4)(a+2)$. Перегруппируем множители: $((a-2)(a+2))(a^2+4)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2-4$.
Получим выражение $(a^2-4)(a^2+4)$. Снова применим эту же формулу:
$(a^2-4)(a^2+4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.

3. Раскроем скобки в выражении $6(5-a^2)$:
$6(5-a^2) = 30 - 6a^2$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(a^4 - 6a^2 + 9) - (a^4 - 16) - (30 - 6a^2)$.

5. Раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^4 - 6a^2 + 9 - a^4 + 16 - 30 + 6a^2 = (a^4 - a^4) + (-6a^2 + 6a^2) + (9 + 16 - 30) = 0 + 0 + (25 - 30) = -5$.

Значение выражения равно -5, оно не зависит от переменной $a$.
Ответ: -5.

944. Упростите выражение:

а) $(y - 3)(y^2 + 9)(y + 3) - (2y^2 - y)^2 - 19$

1. В первом произведении сгруппируем множители $(y - 3)$ и $(y + 3)$. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(y - 3)(y + 3)(y^2 + 9) - (2y^2 - y)^2 - 19 = (y^2 - 3^2)(y^2 + 9) - (2y^2 - y)^2 - 19 = (y^2 - 9)(y^2 + 9) - (2y^2 - y)^2 - 19$

2. Теперь к выражению $(y^2 - 9)(y^2 + 9)$ снова применим формулу разности квадратов:

$(y^2 - 9)(y^2 + 9) = (y^2)^2 - 9^2 = y^4 - 81$

3. Раскроем вторую скобку $(2y^2 - y)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2y^2 - y)^2 = (2y^2)^2 - 2 \cdot (2y^2) \cdot y + y^2 = 4y^4 - 4y^3 + y^2$

4. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(y^4 - 81) - (4y^4 - 4y^3 + y^2) - 19$

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^4 - 81 - 4y^4 + 4y^3 - y^2 - 19 = (y^4 - 4y^4) + 4y^3 - y^2 - (81 + 19) = -3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100$

Ответ: $-3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100$

б) $(1 - a)(1 - a^2) + (1 + a)(1 + a^2) - 2a(1 + a)(a - 1)$

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(1 - a)(1 - a^2) = 1 - a^2 - a + a^3$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(1 + a)(1 + a^2) = 1 + a^2 + a + a^3$

3. Упростим третье слагаемое. Заметим, что произведение $(1 + a)(a - 1)$ является разностью квадратов $(a+1)(a-1) = a^2 - 1$:

$-2a(1 + a)(a - 1) = -2a(a^2 - 1) = -2a^3 + 2a$

4. Подставим все упрощенные части в исходное выражение:

$(1 - a^2 - a + a^3) + (1 + a^2 + a + a^3) + (-2a^3 + 2a)$

5. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$1 - a^2 - a + a^3 + 1 + a^2 + a + a^3 - 2a^3 + 2a$

Сгруппируем по степеням переменной $a$:

$(a^3 + a^3 - 2a^3) + (-a^2 + a^2) + (-a + a + 2a) + (1 + 1)$

$0 \cdot a^3 + 0 \cdot a^2 + 2a + 2 = 2a + 2$

Ответ: $2a + 2$

945. Докажите тождество:

а) Для доказательства тождества $(a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2$ преобразуем обе его части, левую (ЛЧ) и правую (ПЧ), и покажем, что они равны.

Преобразуем левую часть:
ЛЧ $= (a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (a \cdot 4c + a \cdot 2a - 3c \cdot 4c - 3c \cdot 2a) + (3c \cdot a + 3c \cdot 3c)$
$= (4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac) + (3ac + 9c^2)$
$= 2a^2 - 2ac - 12c^2 + 3ac + 9c^2$
$= 2a^2 + ac - 3c^2$.

Преобразуем правую часть:
ПЧ $= (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2 = (2a \cdot 3c + 2a \cdot 5a - c \cdot 3c - c \cdot 5a) - 8a^2$
$= (6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac) - 8a^2$
$= 10a^2 + ac - 3c^2 - 8a^2$
$= 2a^2 + ac - 3c^2$.

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части равны: $2a^2 + ac - 3c^2 = 2a^2 + ac - 3c^2$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $(1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b)$ преобразуем его левую часть.

Заметим, что выражение $(2b - 1)$ можно записать как $-(1 - 2b)$. Это позволяет вынести общий множитель $(1 - 2b)$ за скобки:
$(1 - 2b)(1 - 5b + b^2) - (1 - 2b)(1 - 6b + b^2)$
$= (1 - 2b) \cdot [(1 - 5b + b^2) - (1 - 6b + b^2)]$
Раскроем скобки внутри квадратных скобок:
$= (1 - 2b) \cdot (1 - 5b + b^2 - 1 + 6b - b^2)$
Приведем подобные слагаемые во второй скобке:
$= (1 - 2b) \cdot ((1-1) + (-5b+6b) + (b^2-b^2))$
$= (1 - 2b) \cdot b$
$= b(1 - 2b)$.

В результате преобразований левая часть стала равна правой части: $b(1 - 2b) = b(1 - 2b)$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

946. Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) Рассмотрим трехчлен $25y^2 - 15ay + 9a^2$.

Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, мы используем формулы квадрата суммы или разности: $(x \pm z)^2 = x^2 \pm 2xz + z^2$.

В нашем выражении есть два члена, которые являются полными квадратами: $25y^2 = (5y)^2$ и $9a^2 = (3a)^2$.

Предположим, что это квадрат разности, тогда $x=5y$ и $z=3a$. Проверим средний член, который должен быть удвоенным произведением $2xz$.

$2xz = 2 \cdot (5y) \cdot (3a) = 30ay$.

Средний член в данном трехчлене равен $-15ay$.

Поскольку $-15ay \neq -30ay$, данный трехчлен не является квадратом двучлена.

Выражение, противоположное квадрату двучлена, имеет вид $-(x \pm z)^2 = -x^2 \mp 2xz - z^2$. У такого выражения либо все члены отрицательны, либо один член положителен, а два — отрицательны. Данный трехчлен $25y^2 - 15ay + 9a^2$ имеет два положительных члена и один отрицательный, поэтому он не может быть представлен и в виде выражения, противоположного квадрату двучлена.

Ответ: Представить данный трехчлен в требуемом виде невозможно.

б) Рассмотрим трехчлен $15ab - 9a^2 - 6\frac{1}{4}b^2$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.

Выражение примет вид $15ab - 9a^2 - \frac{25}{4}b^2$.

Это выражение имеет один положительный член ($15ab$) и два отрицательных ($-9a^2$ и $-\frac{25}{4}b^2$). Такая структура соответствует выражению, противоположному квадрату разности: $-(x^2 - 2xz + z^2) = -x^2 + 2xz - z^2$.

Вынесем знак минус за скобки и переставим члены: $-(9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2)$.

Теперь проанализируем выражение в скобках: $9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2$.

Определим члены, которые являются квадратами: $9a^2 = (3a)^2$ и $\frac{25}{4}b^2 = (\frac{5}{2}b)^2$.

Пусть $x = 3a$ и $z = \frac{5}{2}b$.

Найдем удвоенное произведение: $2xz = 2 \cdot 3a \cdot \frac{5}{2}b = 15ab$.

Средний член в скобках, $-15ab$, равен $-2xz$. Следовательно, выражение в скобках является квадратом разности: $9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2 = (3a - \frac{5}{2}b)^2$.

Таким образом, исходный трехчлен можно представить как $-(3a - \frac{5}{2}b)^2$.

Ответ: $-(3a - \frac{5}{2}b)^2$.

в) Рассмотрим трехчлен $4b^2 + 0,25c^2 - 2bc$.

Переставим члены для удобства, чтобы соответствовать стандартной форме формулы квадрата двучлена: $4b^2 - 2bc + 0,25c^2$.

Проверим, соответствует ли это выражение формуле квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

Определим члены, являющиеся квадратами: $4b^2 = (2b)^2$ и $0,25c^2 = (0,5c)^2$.

Пусть $x = 2b$ и $z = 0,5c$.

Найдем удвоенное произведение: $2xz = 2 \cdot 2b \cdot 0,5c = 2bc$.

Средний член нашего выражения, $-2bc$, равен $-2xz$.

Следовательно, данный трехчлен является квадратом разности двучлена $2b - 0,5c$.

$4b^2 - 2bc + 0,25c^2 = (2b - 0,5c)^2$.

Ответ: $(2b - 0,5c)^2$.

г) Рассмотрим трехчлен $0,36a^2 + 0,04y^2 - 0,24ay$.

Переставим члены, чтобы привести выражение к стандартному виду: $0,36a^2 - 0,24ay + 0,04y^2$.

Это выражение похоже на формулу квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

Определим члены, которые являются квадратами: $0,36a^2 = (0,6a)^2$ и $0,04y^2 = (0,2y)^2$.

Пусть $x = 0,6a$ и $z = 0,2y$.

Найдем удвоенное произведение: $2xz = 2 \cdot 0,6a \cdot 0,2y = 0,24ay$.

Средний член нашего выражения, $-0,24ay$, равен $-2xz$.

Таким образом, данный трехчлен является квадратом разности двучлена $0,6a - 0,2y$.

$0,36a^2 - 0,24ay + 0,04y^2 = (0,6a - 0,2y)^2$.

Ответ: $(0,6a - 0,2y)^2$.

947. Разложите на множители:

Для того чтобы разложить на множители выражение $-20x^4y^2 - 35x^3y^3$, необходимо найти и вынести за скобки общий множитель.

1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 20 и 35. НОД(20, 35) = 5. Поскольку оба члена отрицательны, удобно вынести за скобки -5.

2. Найдём общие множители для переменных. Для $x$ это $x^3$ (наименьшая степень из $x^4$ и $x^3$), а для $y$ это $y^2$ (наименьшая степень из $y^2$ и $y^3$).

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $-5x^3y^2$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член исходного многочлена на этот общий множитель: $-20x^4y^2 - 35x^3y^3 = -5x^3y^2(\frac{-20x^4y^2}{-5x^3y^2} + \frac{-35x^3y^3}{-5x^3y^2}) = -5x^3y^2(4x + 7y)$.

Ответ: $-5x^3y^2(4x + 7y)$

Разложим на множители выражение $3a^3b^2c + 9ab^2c^3$.

1. НОД для коэффициентов 3 и 9 равен 3.

2. Общие множители для переменных: $a$ (из $a^3$ и $a$), $b^2$ (из $b^2$ и $b^2$), $c$ (из $c$ и $c^3$).

Общий множитель для всего выражения: $3ab^2c$.

Вынесем его за скобки: $3a^3b^2c + 9ab^2c^3 = 3ab^2c(\frac{3a^3b^2c}{3ab^2c} + \frac{9ab^2c^3}{3ab^2c}) = 3ab^2c(a^2 + 3c^2)$.

Ответ: $3ab^2c(a^2 + 3c^2)$

Разложим на множители выражение $-1,2a^3b + 1,2b^4$.

1. Общий множитель для коэффициентов -1,2 и 1,2 равен 1,2. Вынесем $-1,2$, чтобы первый член в скобках был положительным.

2. Общий множитель для переменных: $b$ (из $b$ и $b^4$). Переменная $a$ есть только в первом члене, поэтому ее не выносим.

Общий множитель для всего выражения: $-1,2b$.

Вынесем его за скобки: $-1,2a^3b + 1,2b^4 = -1,2b(\frac{-1,2a^3b}{-1,2b} + \frac{1,2b^4}{-1,2b}) = -1,2b(a^3 - b^3)$.

Ответ: $-1,2b(a^3 - b^3)$

Разложим на множители выражение $7,2x^4y^4 - 1,8x^4y^2$.

1. НОД для коэффициентов 7,2 и 1,8 равен 1,8.

2. Общие множители для переменных: $x^4$ (из $x^4$ и $x^4$), $y^2$ (из $y^4$ и $y^2$).

Общий множитель для всего выражения: $1,8x^4y^2$.

Вынесем его за скобки: $7,2x^4y^4 - 1,8x^4y^2 = 1,8x^4y^2(\frac{7,2x^4y^4}{1,8x^4y^2} - \frac{1,8x^4y^2}{1,8x^4y^2}) = 1,8x^4y^2(4y^2 - 1)$.

Выражение в скобках $(4y^2 - 1)$ является разностью квадратов, так как $4y^2 = (2y)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $4y^2 - 1 = (2y-1)(2y+1)$.

Окончательный результат разложения: $1,8x^4y^2(2y-1)(2y+1)$.

Ответ: $1,8x^4y^2(2y-1)(2y+1)$