Страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

900. Разложите на множители:

Для решения всех пунктов данной задачи используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $25x^2 - y^2$ в виде разности квадратов.
$25x^2 = (5x)^2$
$y^2 = (y)^2$
Таким образом, $25x^2 - y^2 = (5x)^2 - y^2$.
Применим формулу, где $a = 5x$ и $b = y$:
$(5x)^2 - y^2 = (5x - y)(5x + y)$.
Ответ: $(5x - y)(5x + y)$.

б) Перепишем выражение $-m^2 + 16n^2$ для удобства: $16n^2 - m^2$.
Представим его в виде разности квадратов:
$16n^2 = (4n)^2$
$m^2 = (m)^2$
Таким образом, $16n^2 - m^2 = (4n)^2 - m^2$.
Применим формулу, где $a = 4n$ и $b = m$:
$(4n)^2 - m^2 = (4n - m)(4n + m)$.
Ответ: $(4n - m)(4n + m)$.

в) Представим выражение $36a^2 - 49$ в виде разности квадратов.
$36a^2 = (6a)^2$
$49 = 7^2$
Таким образом, $36a^2 - 49 = (6a)^2 - 7^2$.
Применим формулу, где $a = 6a$ и $b = 7$:
$(6a)^2 - 7^2 = (6a - 7)(6a + 7)$.
Ответ: $(6a - 7)(6a + 7)$.

г) Представим выражение $64 - 25x^2$ в виде разности квадратов.
$64 = 8^2$
$25x^2 = (5x)^2$
Таким образом, $64 - 25x^2 = 8^2 - (5x)^2$.
Применим формулу, где $a = 8$ и $b = 5x$:
$8^2 - (5x)^2 = (8 - 5x)(8 + 5x)$.
Ответ: $(8 - 5x)(8 + 5x)$.

д) Представим выражение $9m^2 - 16n^2$ в виде разности квадратов.
$9m^2 = (3m)^2$
$16n^2 = (4n)^2$
Таким образом, $9m^2 - 16n^2 = (3m)^2 - (4n)^2$.
Применим формулу, где $a = 3m$ и $b = 4n$:
$(3m)^2 - (4n)^2 = (3m - 4n)(3m + 4n)$.
Ответ: $(3m - 4n)(3m + 4n)$.

е) Представим выражение $64p^2 - 81q^2$ в виде разности квадратов.
$64p^2 = (8p)^2$
$81q^2 = (9q)^2$
Таким образом, $64p^2 - 81q^2 = (8p)^2 - (9q)^2$.
Применим формулу, где $a = 8p$ и $b = 9q$:
$(8p)^2 - (9q)^2 = (8p - 9q)(8p + 9q)$.
Ответ: $(8p - 9q)(8p + 9q)$.

ж) Перепишем выражение $-49a^2 + 16b^2$ для удобства: $16b^2 - 49a^2$.
Представим его в виде разности квадратов:
$16b^2 = (4b)^2$
$49a^2 = (7a)^2$
Таким образом, $16b^2 - 49a^2 = (4b)^2 - (7a)^2$.
Применим формулу, где $a = 4b$ и $b = 7a$:
$(4b)^2 - (7a)^2 = (4b - 7a)(4b + 7a)$.
Ответ: $(4b - 7a)(4b + 7a)$.

з) Представим выражение $0,01n^2 - 4m^2$ в виде разности квадратов.
$0,01n^2 = (0,1n)^2$
$4m^2 = (2m)^2$
Таким образом, $0,01n^2 - 4m^2 = (0,1n)^2 - (2m)^2$.
Применим формулу, где $a = 0,1n$ и $b = 2m$:
$(0,1n)^2 - (2m)^2 = (0,1n - 2m)(0,1n + 2m)$.
Ответ: $(0,1n - 2m)(0,1n + 2m)$.

и) Представим выражение $9 - b^2c^2$ в виде разности квадратов.
$9 = 3^2$
$b^2c^2 = (bc)^2$
Таким образом, $9 - b^2c^2 = 3^2 - (bc)^2$.
Применим формулу, где $a = 3$ и $b = bc$:
$3^2 - (bc)^2 = (3 - bc)(3 + bc)$.
Ответ: $(3 - bc)(3 + bc)$.

к) Представим выражение $4a^2b^2 - 1$ в виде разности квадратов.
$4a^2b^2 = (2ab)^2$
$1 = 1^2$
Таким образом, $4a^2b^2 - 1 = (2ab)^2 - 1^2$.
Применим формулу, где $a = 2ab$ и $b = 1$:
$(2ab)^2 - 1^2 = (2ab - 1)(2ab + 1)$.
Ответ: $(2ab - 1)(2ab + 1)$.

л) Представим выражение $p^2 - a^2b^2$ в виде разности квадратов.
$p^2 = (p)^2$
$a^2b^2 = (ab)^2$
Таким образом, $p^2 - a^2b^2 = p^2 - (ab)^2$.
Применим формулу, где $a = p$ и $b = ab$:
$p^2 - (ab)^2 = (p - ab)(p + ab)$.
Ответ: $(p - ab)(p + ab)$.

м) Представим выражение $16c^2d^2 - 9a^2$ в виде разности квадратов.
$16c^2d^2 = (4cd)^2$
$9a^2 = (3a)^2$
Таким образом, $16c^2d^2 - 9a^2 = (4cd)^2 - (3a)^2$.
Применим формулу, где $a = 4cd$ и $b = 3a$:
$(4cd)^2 - (3a)^2 = (4cd - 3a)(4cd + 3a)$.
Ответ: $(4cd - 3a)(4cd + 3a)$.

901. Представьте в виде произведения:

Для решения всех пунктов этого задания используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $x^2 - 64$

Представим данное выражение в виде разности квадратов. Мы знаем, что $64 = 8^2$.

Следовательно, $x^2 - 64 = x^2 - 8^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = 8$.

$x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 8)$.

б) $0,16 - c^2$

Представим $0,16$ как квадрат числа: $0,16 = (0,4)^2$.

Тогда выражение примет вид: $0,16 - c^2 = (0,4)^2 - c^2$.

Применим формулу, где $a = 0,4$ и $b = c$.

$(0,4)^2 - c^2 = (0,4 - c)(0,4 + c)$.

Ответ: $(0,4 - c)(0,4 + c)$.

в) $121 - m^2$

Представим $121$ как квадрат числа: $121 = 11^2$.

Выражение можно записать так: $121 - m^2 = 11^2 - m^2$.

Применим формулу, где $a = 11$ и $b = m$.

$11^2 - m^2 = (11 - m)(11 + m)$.

Ответ: $(11 - m)(11 + m)$.

г) $-81 + 25y^2$

Для удобства поменяем слагаемые местами: $25y^2 - 81$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата: $25y^2 = (5y)^2$ и $81 = 9^2$.

Получаем: $(5y)^2 - 9^2$.

Применим формулу, где $a = 5y$ и $b = 9$.

$(5y)^2 - 9^2 = (5y - 9)(5y + 9)$.

Ответ: $(5y - 9)(5y + 9)$.

д) $144b^2 - c^2$

Представим $144b^2$ как квадрат выражения: $144b^2 = (12b)^2$.

Выражение принимает вид: $(12b)^2 - c^2$.

Применим формулу, где $a = 12b$ и $b = c$.

$(12b)^2 - c^2 = (12b - c)(12b + c)$.

Ответ: $(12b - c)(12b + c)$.

е) $0,64x^2 - 0,49y^2$

Представим каждый член выражения в виде квадрата: $0,64x^2 = (0,8x)^2$ и $0,49y^2 = (0,7y)^2$.

Получаем выражение: $(0,8x)^2 - (0,7y)^2$.

Применим формулу, где $a = 0,8x$ и $b = 0,7y$.

$(0,8x)^2 - (0,7y)^2 = (0,8x - 0,7y)(0,8x + 0,7y)$.

Ответ: $(0,8x - 0,7y)(0,8x + 0,7y)$.

ж) $x^2y^2 - 0,25$

Представим члены выражения в виде квадратов: $x^2y^2 = (xy)^2$ и $0,25 = (0,5)^2$.

Выражение принимает вид: $(xy)^2 - (0,5)^2$.

Применим формулу, где $a = xy$ и $b = 0,5$.

$(xy)^2 - (0,5)^2 = (xy - 0,5)(xy + 0,5)$.

Ответ: $(xy - 0,5)(xy + 0,5)$.

з) $c^2d^2 - a^2$

Представим $c^2d^2$ как квадрат выражения: $c^2d^2 = (cd)^2$.

Выражение принимает вид: $(cd)^2 - a^2$.

Применим формулу, где первый член равен $cd$, а второй — $a$.

$(cd)^2 - a^2 = (cd - a)(cd + a)$.

Ответ: $(cd - a)(cd + a)$.

и) $a^2x^2 - 4y^2$

Представим каждый член выражения в виде квадрата: $a^2x^2 = (ax)^2$ и $4y^2 = (2y)^2$.

Выражение принимает вид: $(ax)^2 - (2y)^2$.

Применим формулу, где первый член равен $ax$, а второй — $2y$.

$(ax)^2 - (2y)^2 = (ax - 2y)(ax + 2y)$.

Ответ: $(ax - 2y)(ax + 2y)$.

902. Вычислите:

Для решения всех пунктов задачи используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $47^2 - 37^2$

Применим формулу разности квадратов:

$47^2 - 37^2 = (47 - 37)(47 + 37) = 10 \cdot 84 = 840$.

Ответ: 840

б) $53^2 - 63^2$

Применим формулу разности квадратов:

$53^2 - 63^2 = (53 - 63)(53 + 63) = (-10) \cdot 116 = -1160$.

Ответ: -1160

в) $126^2 - 74^2$

Применим формулу разности квадратов:

$126^2 - 74^2 = (126 - 74)(126 + 74) = 52 \cdot 200 = 10400$.

Ответ: 10400

г) $21,3^2 - 21,2^2$

Применим формулу разности квадратов:

$21,3^2 - 21,2^2 = (21,3 - 21,2)(21,3 + 21,2) = 0,1 \cdot 42,5 = 4,25$.

Ответ: 4,25

д) $0,849^2 - 0,151^2$

Применим формулу разности квадратов:

$0,849^2 - 0,151^2 = (0,849 - 0,151)(0,849 + 0,151) = 0,698 \cdot 1 = 0,698$.

Ответ: 0,698

е) $(5\frac{2}{3})^2 - (4\frac{1}{3})^2$

Применим формулу разности квадратов:

$(5\frac{2}{3})^2 - (4\frac{1}{3})^2 = (5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3})(5\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3})$.

Сначала вычислим значения выражений в скобках:

Разность: $5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Сумма: $5\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3} = 10$.

Теперь перемножим полученные результаты. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{4}{3} \cdot 10 = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$.

Ответ: $13\frac{1}{3}$

903. Найдите значение дроби:

а) 3613² − 11²; б) 79² − 65²420; в) 53² − 27²79² − 51²; г) 53² − 32²61² − 44².

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{36}{13^2 - 11^2}$, преобразуем её знаменатель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим знаменатель: $13^2 - 11^2 = (13 - 11)(13 + 11) = 2 \cdot 24 = 48$.

Теперь подставим полученное значение в дробь и сократим её:

$\frac{36}{48} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{79^2 - 65^2}{420}$, преобразуем её числитель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим числитель: $79^2 - 65^2 = (79 - 65)(79 + 65) = 14 \cdot 144$.

Подставим полученное значение в дробь и сократим её:

$\frac{14 \cdot 144}{420} = \frac{14 \cdot 144}{14 \cdot 30} = \frac{144}{30} = \frac{24 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{5}$.

Ответ: $\frac{24}{5}$.

в) Чтобы найти значение дроби $\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}$, преобразуем её числитель и знаменатель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \cdot 80$.

Вычислим знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \cdot 130$.

Подставим полученные значения в дробь и сократим её:

$\frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} = \frac{(2 \cdot 13) \cdot 80}{(2 \cdot 14) \cdot (10 \cdot 13)} = \frac{80}{14 \cdot 10} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{53^2 - 32^2}{61^2 - 44^2}$, преобразуем её числитель и знаменатель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим числитель: $53^2 - 32^2 = (53 - 32)(53 + 32) = 21 \cdot 85$.

Вычислим знаменатель: $61^2 - 44^2 = (61 - 44)(61 + 44) = 17 \cdot 105$.

Подставим полученные значения в дробь и сократим её, предварительно разложив числа на множители:

$\frac{21 \cdot 85}{17 \cdot 105} = \frac{21 \cdot (5 \cdot 17)}{17 \cdot (5 \cdot 21)} = \frac{21 \cdot 5 \cdot 17}{17 \cdot 5 \cdot 21} = 1$.

Ответ: $1$.

904. Найдите значение выражения:

Для решения всех представленных выражений используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Эта формула позволяет значительно упростить вычисления, избегая возведения в квадрат больших чисел.

а)

Применим формулу разности квадратов для выражения $41^2 - 31^2$.

Здесь $a=41$ и $b=31$.

$41^2 - 31^2 = (41 - 31)(41 + 31) = 10 \cdot 72 = 720$.

Ответ: $720$.

б)

Используем ту же формулу для выражения $76^2 - 24^2$.

Здесь $a=76$ и $b=24$.

$76^2 - 24^2 = (76 - 24)(76 + 24) = 52 \cdot 100 = 5200$.

Ответ: $5200$.

в)

Аналогично, для выражения $256^2 - 156^2$.

Здесь $a=256$ и $b=156$.

$256^2 - 156^2 = (256 - 156)(256 + 156) = 100 \cdot 412 = 41200$.

Ответ: $41200$.

г)

Формула разности квадратов также применима и для десятичных дробей. Рассмотрим выражение $0,783^2 - 0,217^2$.

Здесь $a=0,783$ и $b=0,217$.

$0,783^2 - 0,217^2 = (0,783 - 0,217)(0,783 + 0,217) = 0,566 \cdot 1 = 0,566$.

Ответ: $0,566$.

д)

В данном выражении $\frac{26^2-12^2}{54^2-16^2}$ необходимо применить формулу разности квадратов и для числителя, и для знаменателя.

Разложим числитель: $26^2 - 12^2 = (26-12)(26+12) = 14 \cdot 38$.

Разложим знаменатель: $54^2 - 16^2 = (54-16)(54+16) = 38 \cdot 70$.

Теперь подставим полученные произведения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{14 \cdot 38}{38 \cdot 70} = \frac{14}{70} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

е)

Для выражения $\frac{63^2-27^2}{83^2-79^2}$ поступим аналогично предыдущему пункту.

Разложим числитель: $63^2 - 27^2 = (63-27)(63+27) = 36 \cdot 90$.

Разложим знаменатель: $83^2 - 79^2 = (83-79)(83+79) = 4 \cdot 162$.

Подставим полученные значения в дробь и выполним вычисления:

$\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 90}{162} = \frac{810}{162}$.

Разделив 810 на 162, получаем 5.

$\frac{810}{162} = 5$.

Ответ: $5$.

905. Разложите на множители:

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $x^4 - 9$ в виде разности квадратов: $x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2$. Применим формулу, где $a = x^2$ и $b = 3$. В результате получаем $(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.
Ответ: $(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

б) Представим выражение $25 - n^6$ в виде разности квадратов: $25 - n^6 = 5^2 - (n^3)^2$. Применим формулу, где $a = 5$ и $b = n^3$. В результате получаем $(5 - n^3)(5 + n^3)$.
Ответ: $(5 - n^3)(5 + n^3)$.

в) Представим выражение $m^8 - a^2$ в виде разности квадратов: $m^8 - a^2 = (m^4)^2 - a^2$. Применим формулу, где $a = m^4$ и $b = a$. В результате получаем $(m^4 - a)(m^4 + a)$.
Ответ: $(m^4 - a)(m^4 + a)$.

г) Представим выражение $y^2 - p^4$ в виде разности квадратов: $y^2 - p^4 = y^2 - (p^2)^2$. Применим формулу, где $a = y$ и $b = p^2$. В результате получаем $(y - p^2)(y + p^2)$.
Ответ: $(y - p^2)(y + p^2)$.

д) Выражение $c^6 - d^6$ можно разложить как разность квадратов: $c^6 - d^6 = (c^3)^2 - (d^3)^2 = (c^3 - d^3)(c^3 + d^3)$. Затем, к полученным множителям применим формулы разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Получаем: $(c - d)(c^2 + cd + d^2)(c + d)(c^2 - cd + d^2)$.
Ответ: $(c - d)(c + d)(c^2 + cd + d^2)(c^2 - cd + d^2)$.

е) Представим выражение $x^6 - a^4$ в виде разности квадратов: $x^6 - a^4 = (x^3)^2 - (a^2)^2$. Применим формулу, где $a = x^3$ и $b = a^2$. В результате получаем $(x^3 - a^2)(x^3 + a^2)$.
Ответ: $(x^3 - a^2)(x^3 + a^2)$.

ж) Представим выражение $b^4 - y^{10}$ в виде разности квадратов: $b^4 - y^{10} = (b^2)^2 - (y^5)^2$. Применим формулу, где $a = b^2$ и $b = y^5$. В результате получаем $(b^2 - y^5)(b^2 + y^5)$.
Ответ: $(b^2 - y^5)(b^2 + y^5)$.

з) Представим выражение $m^8 - n^6$ в виде разности квадратов: $m^8 - n^6 = (m^4)^2 - (n^3)^2$. Применим формулу, где $a = m^4$ и $b = n^3$. В результате получаем $(m^4 - n^3)(m^4 + n^3)$.
Ответ: $(m^4 - n^3)(m^4 + n^3)$.

и) Применим формулу разности квадратов к выражению $a^4 - b^4$: $(a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому разложим его дальше: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Окончательное разложение: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.

к) Применим формулу разности квадратов последовательно: $c^8 - d^8 = (c^4)^2 - (d^4)^2 = (c^4 - d^4)(c^4 + d^4)$. Далее разложим $(c^4 - d^4) = (c^2)^2 - (d^2)^2 = (c^2 - d^2)(c^2 + d^2)$. И наконец, $(c^2 - d^2) = (c - d)(c + d)$. Собрав все множители, получаем: $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4)$.
Ответ: $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4)$.

л) Применим формулу разности квадратов к выражению $a^4 - 16$: $(a^2)^2 - 4^2 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$. Множитель $(a^2 - 4)$ является разностью квадратов $a^2 - 2^2$, поэтому разложим его на $(a - 2)(a + 2)$. Окончательное разложение: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.

м) Применим формулу разности квадратов к выражению $81 - b^4$: $9^2 - (b^2)^2 = (9 - b^2)(9 + b^2)$. Множитель $(9 - b^2)$ является разностью квадратов $3^2 - b^2$, поэтому разложим его на $(3 - b)(3 + b)$. Окончательное разложение: $(3 - b)(3 + b)(9 + b^2)$.
Ответ: $(3 - b)(3 + b)(9 + b^2)$.

906. Решите уравнение:

а) $x^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Такие уравнения решаются путем переноса свободного члена в правую часть и последующего извлечения квадратного корня.

Перенесем 16 в правую часть:

$x^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{16}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Ответ: $-4; 4$.

б) $y^2 - 81 = 0$

Аналогично предыдущему пункту, перенесем 81 в правую часть:

$y^2 = 81$

Извлечем квадратный корень:

$y = \pm\sqrt{81}$

Получаем два корня:

$y_1 = 9$, $y_2 = -9$.

Ответ: $-9; 9$.

в) $\frac{1}{9} - x^2 = 0$

Перенесем $-x^2$ в правую часть, чтобы избавиться от знака минус:

$\frac{1}{9} = x^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

г) $a^2 - 0,25 = 0$

Перенесем 0,25 в правую часть:

$a^2 = 0,25$

Извлечем квадратный корень:

$a = \pm\sqrt{0,25}$

Получаем два корня:

$a_1 = 0,5$, $a_2 = -0,5$.

Ответ: $-0,5; 0,5$.

д) $b^2 + 36 = 0$

Перенесем 36 в правую часть:

$b^2 = -36$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($b^2 \ge 0$). Поскольку правая часть уравнения отрицательна (-36), данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

е) $x^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{1}$

Получаем два корня:

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 1$.

ж) $4x^2 - 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$4x^2 = 9$

Разделим обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$, $x_2 = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Ответ: $-1,5; 1,5$.

з) $25x^2 - 16 = 0$

Перенесем 16 в правую часть:

$25x^2 = 16$

Разделим обе части на 25:

$x^2 = \frac{16}{25}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{16}{25}}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{4}{5} = 0,8$, $x_2 = -\frac{4}{5} = -0,8$.

Ответ: $-0,8; 0,8$.

и) $81x^2 + 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$81x^2 = -4$

Разделим обе части на 81:

$x^2 = -\frac{4}{81}$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

907. Решите уравнение:

а) Данное уравнение является неполным квадратным уравнением вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения и извлечем квадратный корень из обеих частей.

$m^2 - 25 = 0$

$m^2 = 25$

$m = \pm\sqrt{25}$

$m_1 = 5$, $m_2 = -5$

Также можно было использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(m-5)(m+5) = 0$

Отсюда следует, что $m-5=0$ или $m+5=0$, что дает те же корни.

Ответ: $m = \pm5$.

б) Решим это уравнение аналогично первому способу из пункта а).

$x^2 - 36 = 0$

$x^2 = 36$

$x = \pm\sqrt{36}$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

Ответ: $x = \pm6$.

в) В этом уравнении сначала выразим $x^2$, а затем извлечем корень.

$9x^2 - 4 = 0$

$9x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{9}$

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$

$x = \pm\frac{2}{3}$

$x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = -\frac{2}{3}$

Ответ: $x = \pm\frac{2}{3}$.

г) Решим это уравнение по той же схеме, что и в пункте в).

$16x^2 - 49 = 0$

$16x^2 = 49$

$x^2 = \frac{49}{16}$

$x = \pm\sqrt{\frac{49}{16}}$

$x = \pm\frac{7}{4}$

$x_1 = \frac{7}{4}$, $x_2 = -\frac{7}{4}$

Ответ: $x = \pm\frac{7}{4}$.

908. Представьте в виде произведения:

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) Представим выражение $c^6 - 9x^4$ в виде разности квадратов. Для этого найдем, квадратами каких выражений являются $c^6$ и $9x^4$.
$c^6 = (c^3)^2$
$9x^4 = (3x^2)^2$
Теперь применим формулу разности квадратов, где $a = c^3$ и $b = 3x^2$:
$c^6 - 9x^4 = (c^3)^2 - (3x^2)^2 = (c^3 - 3x^2)(c^3 + 3x^2)$.
Ответ: $(c^3 - 3x^2)(c^3 + 3x^2)$.

б) Представим выражение $100y^2 - a^8$ в виде разности квадратов.
$100y^2 = (10y)^2$
$a^8 = (a^4)^2$
Применим формулу, где $a = 10y$ и $b = a^4$:
$100y^2 - a^8 = (10y)^2 - (a^4)^2 = (10y - a^4)(10y + a^4)$.
Ответ: $(10y - a^4)(10y + a^4)$.

в) Представим выражение $4x^4 - 25b^2$ в виде разности квадратов.
$4x^4 = (2x^2)^2$
$25b^2 = (5b)^2$
Применим формулу, где $a = 2x^2$ и $b = 5b$:
$4x^4 - 25b^2 = (2x^2)^2 - (5b)^2 = (2x^2 - 5b)(2x^2 + 5b)$.
Ответ: $(2x^2 - 5b)(2x^2 + 5b)$.

г) Представим выражение $a^4b^4 - 1$ в виде разности квадратов.
$a^4b^4 = (a^2b^2)^2$
$1 = 1^2$
Применим формулу, где $a = a^2b^2$ и $b = 1$:
$a^4b^4 - 1 = (a^2b^2)^2 - 1^2 = (a^2b^2 - 1)(a^2b^2 + 1)$.
Заметим, что первый множитель $(a^2b^2 - 1)$ также является разностью квадратов: $a^2b^2 - 1 = (ab)^2 - 1^2 = (ab - 1)(ab + 1)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$a^4b^4 - 1 = (ab - 1)(ab + 1)(a^2b^2 + 1)$.
Ответ: $(ab - 1)(ab + 1)(a^2b^2 + 1)$.

д) Представим выражение $0,36 - x^4y^4$ в виде разности квадратов.
$0,36 = (0,6)^2$
$x^4y^4 = (x^2y^2)^2$
Применим формулу, где $a = 0,6$ и $b = x^2y^2$:
$0,36 - x^4y^4 = (0,6)^2 - (x^2y^2)^2 = (0,6 - x^2y^2)(0,6 + x^2y^2)$.
Ответ: $(0,6 - x^2y^2)(0,6 + x^2y^2)$.

е) Представим выражение $4a^2 - b^6c^2$ в виде разности квадратов.
$4a^2 = (2a)^2$
$b^6c^2 = (b^3c)^2$
Применим формулу, где $a = 2a$ и $b = b^3c$:
$4a^2 - b^6c^2 = (2a)^2 - (b^3c)^2 = (2a - b^3c)(2a + b^3c)$.
Ответ: $(2a - b^3c)(2a + b^3c)$.

ж) Представим выражение $16m^2y^2 - 9n^4$ в виде разности квадратов.
$16m^2y^2 = (4my)^2$
$9n^4 = (3n^2)^2$
Применим формулу, где $a = 4my$ и $b = 3n^2$:
$16m^2y^2 - 9n^4 = (4my)^2 - (3n^2)^2 = (4my - 3n^2)(4my + 3n^2)$.
Ответ: $(4my - 3n^2)(4my + 3n^2)$.

з) Представим выражение $9x^8y^4 - 100z^2$ в виде разности квадратов.
$9x^8y^4 = (3x^4y^2)^2$
$100z^2 = (10z)^2$
Применим формулу, где $a = 3x^4y^2$ и $b = 10z$:
$9x^8y^4 - 100z^2 = (3x^4y^2)^2 - (10z)^2 = (3x^4y^2 - 10z)(3x^4y^2 + 10z)$.
Ответ: $(3x^4y^2 - 10z)(3x^4y^2 + 10z)$.

и) Представим выражение $0,81p^6m^4 - 0,01x^2$ в виде разности квадратов.
$0,81p^6m^4 = (0,9p^3m^2)^2$
$0,01x^2 = (0,1x)^2$
Применим формулу, где $a = 0,9p^3m^2$ и $b = 0,1x$:
$0,81p^6m^4 - 0,01x^2 = (0,9p^3m^2)^2 - (0,1x)^2 = (0,9p^3m^2 - 0,1x)(0,9p^3m^2 + 0,1x)$.
Ответ: $(0,9p^3m^2 - 0,1x)(0,9p^3m^2 + 0,1x)$.