Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

856. Найдите значение выражения:
a) y² − 2y + y при y = 101; −11; 0,6;
б) 4x² − 20x + 25 при x = 12,5; 0; −2;
в) 25а² + 49 + 70а при а = 0,4; −2; −1,6.

а) Для нахождения значения выражения $y^2 - 2y + 1$ при заданных значениях $y$ сначала упростим его, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y - 1)^2$.
Теперь подставим в полученное выражение значения $y$:
- при $y = 101$: $(101 - 1)^2 = 100^2 = 10000$.
- при $y = -11$: $(-11 - 1)^2 = (-12)^2 = 144$.
- при $y = 0,6$: $(0,6 - 1)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$.
Ответ: 10000; 144; 0,16.

б) Упростим выражение $4x^2 - 20x + 25$, используя ту же формулу квадрата разности.
$4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$.
Подставим значения $x$:
- при $x = 12,5$: $(2 \cdot 12,5 - 5)^2 = (25 - 5)^2 = 20^2 = 400$.
- при $x = 0$: $(2 \cdot 0 - 5)^2 = (0 - 5)^2 = (-5)^2 = 25$.
- при $x = -2$: $(2 \cdot (-2) - 5)^2 = (-4 - 5)^2 = (-9)^2 = 81$.
Ответ: 400; 25; 81.

в) Сначала переставим слагаемые в выражении $25a^2 + 49 + 70a$ для удобства: $25a^2 + 70a + 49$. Затем упростим его, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$25a^2 + 70a + 49 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot 7 + 7^2 = (5a + 7)^2$.
Подставим значения $a$:
- при $a = 0,4$: $(5 \cdot 0,4 + 7)^2 = (2 + 7)^2 = 9^2 = 81$.
- при $a = -2$: $(5 \cdot (-2) + 7)^2 = (-10 + 7)^2 = (-3)^2 = 9$.
- при $a = -1,6$: $(5 \cdot (-1,6) + 7)^2 = (-8 + 7)^2 = (-1)^2 = 1$.
Ответ: 81; 9; 1.

857. Верно ли, что при любых значениях х:
а) х² + 10 > 0;
б) х² + 20х + 100 > 0?

а)

Рассмотрим неравенство $x^2 + 10 > 0$.

Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Минимальное значение, которое может принимать $x^2$, равно 0 (это происходит при $x=0$).

Если к неотрицательному числу ($x^2$) прибавить положительное число (10), то сумма всегда будет положительной. Более строго:

Поскольку $x^2 \ge 0$, мы можем прибавить 10 к обеим частям этого неравенства:

$x^2 + 10 \ge 0 + 10$

$x^2 + 10 \ge 10$

Так как $10 > 0$, то и $x^2 + 10$ всегда будет больше 0 при любом значении $x$.

Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б)

Рассмотрим неравенство $x^2 + 20x + 100 > 0$.

Левая часть этого неравенства является трехчленом, который можно представить в виде полного квадрата, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, если взять $a=x$ и $b=10$, то мы получим:

$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$(x+10)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x+10)^2 \ge 0$.

Однако в задании стоит знак строгого неравенства ($>$). Выражение $(x+10)^2$ будет равно нулю, если его основание равно нулю.

$x + 10 = 0$

$x = -10$

При $x = -10$ левая часть неравенства обращается в ноль: $(-10 + 10)^2 = 0^2 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Поскольку мы нашли значение $x$ (а именно $x=-10$), при котором неравенство не выполняется, то утверждение, что оно верно при любых значениях $x$, является неверным.

Ответ: нет, неверно.

858. Сравните с нулём значение выражения:
а) х² − 30х + 225;
б) −х² + 2ху − у².

а)

Чтобы сравнить значение выражения $x^2 - 30x + 225$ с нулём, преобразуем его, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном выражении $a^2$ соответствует $x^2$, значит $a=x$. $b^2$ соответствует $225$, значит $b = \sqrt{225} = 15$.
Проверим, соответствует ли средний член $-30x$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot x \cdot 15 = -30x$.
Так как все члены совпадают, выражение можно свернуть в полный квадрат:
$x^2 - 30x + 225 = (x-15)^2$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. То есть, $(x-15)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Значение выражения равно нулю, если $x-15=0$, то есть $x=15$. Во всех остальных случаях значение выражения будет положительным.
Ответ: Значение выражения $x^2 - 30x + 225$ больше или равно нулю.

б)

Чтобы сравнить значение выражения $-x^2 + 2xy - y^2$ с нулём, вынесем знак минус за скобки:
$-x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$.
Выражение в скобках $x^2 - 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как:
$-(x-y)^2$.
Выражение $(x-y)^2$, как квадрат любого действительного числа, всегда больше или равно нулю: $(x-y)^2 \ge 0$.
Если неотрицательное выражение умножить на $-1$, результат всегда будет меньше или равен нулю.
Следовательно, $-(x-y)^2 \le 0$ при любых значениях $x$ и $y$.
Значение выражения равно нулю, если $x-y=0$, то есть $x=y$. Во всех остальных случаях, когда $x \neq y$, значение выражения будет отрицательным.
Ответ: Значение выражения $-x^2 + 2xy - y^2$ меньше или равно нулю.

859. Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков ≥ или ≤ так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении х:

а) $x^2 - 16x + 64 \dots 0$

Рассмотрим левую часть неравенства: $x^2 - 16x + 64$. Это выражение является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 8$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 8 = 16x$. Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат: $x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Таким образом, $(x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=8$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\ge$.

Ответ: $x^2 - 16x + 64 \ge 0$

б) $16 + 8x + x^2 \dots 0$

Перепишем левую часть неравенства в стандартном виде: $x^2 + 8x + 16$. Это выражение является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 4$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат: $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 4)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=-4$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\ge$.

Ответ: $16 + 8x + x^2 \ge 0$

в) $-x^2 - 4x - 4 \dots 0$

Рассмотрим левую часть неравенства: $-x^2 - 4x - 4$. Вынесем за скобки $-1$: $-(x^2 + 4x + 4)$. Выражение в скобках, $x^2 + 4x + 4$, является полным квадратом суммы. Используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 2$, получаем: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x+2)^2$. Так как $(x+2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $-(x+2)^2$, умноженное на $-1$, будет всегда неположительным, то есть меньше или равно нулю. То есть, $-(x+2)^2 \le 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=-2$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\le$.

Ответ: $-x^2 - 4x - 4 \le 0$

г) $-x^2 + 18x - 81 \dots 0$

Рассмотрим левую часть неравенства: $-x^2 + 18x - 81$. Вынесем за скобки $-1$: $-(x^2 - 18x + 81)$. Выражение в скобках, $x^2 - 18x + 81$, является полным квадратом разности. Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 9$, получаем: $x^2 - 18x + 81 = (x-9)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x-9)^2$. Так как $(x-9)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $-(x-9)^2$, умноженное на $-1$, будет всегда неположительным, то есть меньше или равно нулю. То есть, $-(x-9)^2 \le 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=9$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\le$.

Ответ: $-x^2 + 18x - 81 \le 0$

860. Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:

а) Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, необходимо проверить, соответствует ли оно формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ или квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

В выражении $\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9$ определим возможные значения для $a$ и $b$.

Первый член можно представить как квадрат: $\frac{1}{4}x^2 = (\frac{1}{2}x)^2$. Пусть $a = \frac{1}{2}x$.

Третий член также является квадратом: $9 = 3^2$. Пусть $b = 3$.

Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 3 = 1 \cdot x \cdot 3 = 3x$.

Средний член выражения $(3x)$ совпадает с результатом проверки, значит, выражение можно представить в виде квадрата суммы.

$\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 = (\frac{1}{2}x + 3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}x+3)^2$.

б) В выражении $25a^2 - 30ab + 9b^2$ проверим соответствие формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

Первый член: $25a^2 = (5a)^2$. Пусть $a$ из формулы равно $5a$.

Третий член: $9b^2 = (3b)^2$. Пусть $b$ из формулы равно $3b$.

Проверим удвоенное произведение $2ab$:

$2 \cdot (5a) \cdot (3b) = 30ab$.

Средний член выражения равен $-30ab$, что соответствует $-2ab$ в формуле. Следовательно, выражение является квадратом разности.

$25a^2 - 30ab + 9b^2 = (5a - 3b)^2$.

Ответ: $(5a-3b)^2$.

в) В выражении $p^2 - 2p + 4$ определим возможные значения $a$ и $b$.

Первый член: $p^2 = (p)^2$. Пусть $a = p$.

Третий член: $4 = 2^2$. Пусть $b = 2$.

Проверим удвоенное произведение для формулы квадрата разности:

$2ab = 2 \cdot p \cdot 2 = 4p$.

Средний член выражения равен $-2p$, а требуемое значение $-2ab$ равно $-4p$. Так как $-2p \neq -4p$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

г) В выражении $\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2$ проверим соответствие формуле квадрата суммы.

Первый член: $\frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$. Пусть $a = \frac{1}{3}x$.

Третий член: $\frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$. Пусть $b = \frac{1}{5}y$.

Проверим удвоенное произведение $2ab$:

$2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) = \frac{2xy}{15} = \frac{2}{15}xy$.

Средний член выражения совпадает с результатом проверки.

$\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y)^2$.

д) Перепишем выражение $100b^2 + 9c^2 - 60bc$ в стандартном виде: $100b^2 - 60bc + 9c^2$.

Проверим его на соответствие формуле квадрата разности.

Первый член: $100b^2 = (10b)^2$. Пусть $a = 10b$.

Третий член: $9c^2 = (3c)^2$. Пусть $b = 3c$.

Проверим удвоенное произведение $2ab$:

$2 \cdot (10b) \cdot (3c) = 60bc$.

Средний член выражения равен $-60bc$, что соответствует $-2ab$.

$100b^2 - 60bc + 9c^2 = (10b - 3c)^2$.

Ответ: $(10b-3c)^2$.

е) В выражении $49x^2 + 12xy + 64y^2$ определим возможные значения $a$ и $b$.

Первый член: $49x^2 = (7x)^2$. Пусть $a = 7x$.

Третий член: $64y^2 = (8y)^2$. Пусть $b = 8y$.

Проверим удвоенное произведение для формулы квадрата суммы:

$2ab = 2 \cdot (7x) \cdot (8y) = 112xy$.

Средний член выражения равен $12xy$, а требуемое значение $2ab$ равно $112xy$. Так как $12xy \neq 112xy$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

861. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:

Для преобразования выражений в квадрат двучлена используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$

Данное выражение является трехчленом. Попробуем применить формулу квадрата разности. Для этого представим первый и третий члены в виде квадратов, а второй — в виде удвоенного произведения.

Первый член: $x^4 = (x^2)^2$.

Третий член: $16y^4 = (4y^2)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований первого и третьего членов, то есть $2 \cdot x^2 \cdot 4y^2$.

$2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 = 8x^2y^2$.

Так как второй член в исходном выражении $-8x^2y^2$ (со знаком минус), мы можем использовать формулу квадрата разности:

$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 + (4y^2)^2 = (x^2 - 4y^2)^2$.

Ответ: $(x^2 - 4y^2)^2$.

б) $\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2$

Применим формулу квадрата суммы. Представим первый и третий члены в виде квадратов.

Первый член: $\frac{1}{16}x^4 = (\frac{1}{4}x^2)^2$.

Третий член: $16a^2 = (4a)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований первого и третьего членов, то есть $2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a$.

$2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a = 2x^2a$.

Второй член совпадает. Так как все знаки — плюсы, используем формулу квадрата суммы:

$\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2 = (\frac{1}{4}x^2)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a + (4a)^2 = (\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

в) $\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4$

Применим формулу квадрата суммы. Представим первый и третий члены в виде квадратов.

Первый член: $\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$.

Третий член: $4b^4 = (2b^2)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований, то есть $2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2$.

$2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2 = 2ab^2$.

Второй член совпадает. Так как все знаки — плюсы, используем формулу квадрата суммы:

$\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = (\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

г) $a^2x^2 - 2abx + b^2$

Применим формулу квадрата разности. Представим первый и третий члены в виде квадратов.

Первый член: $a^2x^2 = (ax)^2$.

Третий член: $b^2 = (b)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований, то есть $2 \cdot ax \cdot b$.

$2 \cdot ax \cdot b = 2abx$.

Так как второй член в исходном выражении $-2abx$ (со знаком минус), мы можем использовать формулу квадрата разности:

$a^2x^2 - 2abx + b^2 = (ax)^2 - 2 \cdot ax \cdot b + (b)^2 = (ax - b)^2$.

Ответ: $(ax - b)^2$.

862. Разложите на множители трёхчлен:

а) 4а⁶ − 4a³b² + b⁴; б) b⁸ − а²b⁴ + 14а⁴.

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4$, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Заметим, что первый и последний члены можно представить в виде квадратов:

$4a^6 = (2a^3)^2$

$b^4 = (b^2)^2$

Теперь проверим, является ли средний член удвоенным произведением выражений $2a^3$ и $b^2$.

$2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) = 4a^3b^2$.

Так как средний член в исходном выражении равен $-4a^3b^2$, трёхчлен является полным квадратом разности выражений $2a^3$ и $b^2$.

Следовательно, $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4 = (2a^3)^2 - 2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) + (b^2)^2 = (2a^3 - b^2)^2$.

Ответ: $(2a^3 - b^2)^2$.

б) Чтобы разложить на множители трёхчлен $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$, также применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый и последний члены в виде квадратов:

$b^8 = (b^4)^2$

$\frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2$

Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению выражений $b^4$ и $\frac{1}{2}a^2$.

$2 \cdot (b^4) \cdot (\frac{1}{2}a^2) = a^2b^4$.

Средний член исходного выражения равен $-a^2b^4$, что соответствует полному квадрату разности выражений $b^4$ и $\frac{1}{2}a^2$.

Таким образом, $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4)^2 - 2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a^2)^2 = (b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.

Ответ: $(b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.

863. Докажите, что при любом значении х многочлен х² + 6х + 10 принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает положительные значения при любом значении $x$, можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Выделение полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена к виду, из которого очевидна его положительность. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Рассмотрим наш многочлен $x^2 + 6x + 10$. Первые два слагаемых $x^2 + 6x$ похожи на $a^2 + 2ab$. Если принять $a=x$, то $2xb = 6x$, откуда $b=3$. Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$.

Представим свободный член 10 в виде суммы $9 + 1$ и перегруппируем слагаемые в многочлене:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+3)^2$. Таким образом, мы можем переписать исходный многочлен в следующем виде:

$x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1$

Теперь проанализируем полученное выражение. Выражение $(x+3)^2$ является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \geq 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, сумма $(x+3)^2 + 1$ будет всегда не меньше, чем $0 + 1 = 1$.

$(x+3)^2 + 1 \geq 1$

Поскольку наименьшее значение многочлена равно 1, а 1 > 0, то многочлен $x^2 + 6x + 10$ всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен $x^2 + 6x + 10$ можно представить в виде $(x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \geq 0$ для любого $x$, то $(x+3)^2 + 1 \geq 1$, что доказывает, что многочлен всегда принимает положительные значения.

Способ 2: Использование дискриминанта

Рассмотрим многочлен как квадратичную функцию $y(x) = x^2 + 6x + 10$. Графиком этой функции является парабола.

Для стандартного вида квадратичной функции $ax^2 + bx + c$, коэффициенты в нашем случае равны: $a=1$, $b=6$, $c=10$.

1. Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Так как $a=1$, то $a > 0$, и ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант ($D$) квадратного трехчлена по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$

3. Знак дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, что соответствует количеству точек пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox). Поскольку дискриминант $D = -4 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает и не касается оси Ox.

Таким образом, мы имеем параболу, ветви которой направлены вверх, и которая не имеет точек пересечения с осью Ox. Это возможно только в том случае, если вся парабола целиком расположена выше оси Ox. А это, в свою очередь, означает, что функция $y(x) = x^2 + 6x + 10$ принимает только положительные значения при любом значении $x$.

Ответ: Для квадратичного многочлена $x^2 + 6x + 10$ старший коэффициент $a=1 > 0$ и дискриминант $D = -4 < 0$. Это означает, что график соответствующей функции (парабола) полностью лежит выше оси абсцисс, следовательно, многочлен принимает только положительные значения.

864. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:

Для доказательства того, что выражение принимает лишь положительные значения, мы преобразуем каждое из них, выделив полный квадрат. Полный квадрат — это выражение вида $(a \pm b)^2$, которое всегда неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

а) $x^2 + 2x + 2$

Чтобы выделить полный квадрат, представим число 2 в виде суммы $1 + 1$.
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$
Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(x+1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

б) $4y^2 - 4y + 6$

Выделим в выражении полный квадрат. Для этого представим число 6 как $1 + 5$.
$4y^2 - 4y + 6 = 4y^2 - 4y + 1 + 5$
Первые три слагаемых представляют собой квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2y$ и $b=1$.
$(4y^2 - 4y + 1) + 5 = (2y-1)^2 + 5$
Квадрат любого числа $(2y-1)^2$ всегда больше или равен нулю: $(2y-1)^2 \ge 0$.
Значит, наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 5 = 5$.
Поскольку $5 > 0$, выражение $4y^2 - 4y + 6$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

в) $a^2 + b^2 - 2ab + 1$

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:
$(a^2 - 2ab + b^2) + 1$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a-b)^2 + 1$.
Выражение $(a-b)^2$ как квадрат числа всегда неотрицательно: $(a-b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(a-b)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

г) $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$

Переставим слагаемые для удобства:
$9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4$
Чтобы выделить полный квадрат, представим $4y^2$ в виде суммы $y^2 + 3y^2$.
$9x^2 - 6xy + y^2 + 3y^2 + 4$
Теперь сгруппируем первые три члена. Они образуют квадрат разности $(3x-y)^2$, так как $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$.
$(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 = (3x-y)^2 + 3y^2 + 4$
Рассмотрим полученную сумму.
Первое слагаемое $(3x-y)^2$ является квадратом, поэтому $(3x-y)^2 \ge 0$.
Второе слагаемое $3y^2$ также неотрицательно, так как $y^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение суммы первых двух слагаемых равно 0 (оно достигается при $x=0$ и $y=0$).
Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 0 + 4 = 4$.
Так как $4 > 0$, выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

865. Прочитайте выражение:

а) (а − 10b)²; б) а² − (10b)²; в) (а + 10b)(а − 10b).

а) Выражение $(a - 10b)^2$ является формулой сокращенного умножения, которая называется "квадрат разности". Оно читается как квадрат разности двух выражений: первого выражения $a$ и второго выражения $10b$.

Ответ: Квадрат разности выражений $a$ и $10b$.

б) Выражение $a^2 - (10b)^2$ является формулой сокращенного умножения, которая называется "разность квадратов". Оно читается как разность квадрата выражения $a$ и квадрата выражения $10b$.

Ответ: Разность квадратов выражений $a$ и $10b$.

в) Выражение $(a + 10b)(a - 10b)$ является разложением на множители формулы "разность квадратов". Оно читается как произведение суммы двух выражений ($a$ и $10b$) на их же разность.

Ответ: Произведение суммы выражений $a$ и $10b$ на их разность.

866. Запишите в виде выражения:
а) квадрат суммы 3a и 13b;
б) сумму квадратов 0,5m и 5,Зn;
в) произведение 0,6x² и 9у².

а) "Квадрат суммы" означает, что необходимо сначала найти сумму двух выражений ($3a$ и $\frac{1}{3}b$), а затем возвести полученный результат в квадрат. Сумма этих выражений записывается как $3a + \frac{1}{3}b$. Соответственно, квадрат этой суммы будет выглядеть как $(3a + \frac{1}{3}b)^2$.
Ответ: $(3a + \frac{1}{3}b)^2$

б) "Сумма квадратов" означает, что необходимо сначала каждое из двух выражений ($0,5m$ и $5,3n$) возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты. Квадрат первого выражения — это $(0,5m)^2$. Квадрат второго выражения — это $(5,3n)^2$. Сумма этих квадратов записывается как $(0,5m)^2 + (5,3n)^2$.
Ответ: $(0,5m)^2 + (5,3n)^2$

в) "Произведение" — это результат умножения двух или более выражений. В данном случае нужно найти произведение $0,6x^2$ и $9y^2$. Для этого мы просто записываем их умножение друг на друга. Выражение будет выглядеть как $0,6x^2 \cdot 9y^2$.
Ответ: $0,6x^2 \cdot 9y^2$