Номер 864, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, оранжевый, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-102535-4, 978-5-09-110804-0

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 864, страница 173.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№864 (с. 173)
Условие. №864 (с. 173)
скриншот условия
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Условие

864. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:

а) х2 + 2х + 2;
б) 4у2 − 4у + 6;
в) а2 + b2 − 2ab + 1;
г) 9х2 + 4 − 6ху + 4у2.
Решение 1. №864 (с. 173)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 1
Решение 2. №864 (с. 173)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 2 Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 2 (продолжение 3) Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 2 (продолжение 4)
Решение 3. №864 (с. 173)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 3
Решение 4. №864 (с. 173)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 4 Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 864, Решение 4 (продолжение 2)
Решение 5. №864 (с. 173)

Для доказательства того, что выражение принимает лишь положительные значения, мы преобразуем каждое из них, выделив полный квадрат. Полный квадрат — это выражение вида $(a \pm b)^2$, которое всегда неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

а) $x^2 + 2x + 2$

Чтобы выделить полный квадрат, представим число 2 в виде суммы $1 + 1$.
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$
Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(x+1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

б) $4y^2 - 4y + 6$

Выделим в выражении полный квадрат. Для этого представим число 6 как $1 + 5$.
$4y^2 - 4y + 6 = 4y^2 - 4y + 1 + 5$
Первые три слагаемых представляют собой квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2y$ и $b=1$.
$(4y^2 - 4y + 1) + 5 = (2y-1)^2 + 5$
Квадрат любого числа $(2y-1)^2$ всегда больше или равен нулю: $(2y-1)^2 \ge 0$.
Значит, наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 5 = 5$.
Поскольку $5 > 0$, выражение $4y^2 - 4y + 6$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

в) $a^2 + b^2 - 2ab + 1$

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:
$(a^2 - 2ab + b^2) + 1$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a-b)^2 + 1$.
Выражение $(a-b)^2$ как квадрат числа всегда неотрицательно: $(a-b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(a-b)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

г) $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$

Переставим слагаемые для удобства:
$9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4$
Чтобы выделить полный квадрат, представим $4y^2$ в виде суммы $y^2 + 3y^2$.
$9x^2 - 6xy + y^2 + 3y^2 + 4$
Теперь сгруппируем первые три члена. Они образуют квадрат разности $(3x-y)^2$, так как $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$.
$(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 = (3x-y)^2 + 3y^2 + 4$
Рассмотрим полученную сумму.
Первое слагаемое $(3x-y)^2$ является квадратом, поэтому $(3x-y)^2 \ge 0$.
Второе слагаемое $3y^2$ также неотрицательно, так как $y^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение суммы первых двух слагаемых равно 0 (оно достигается при $x=0$ и $y=0$).
Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 0 + 4 = 4$.
Так как $4 > 0$, выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 864 расположенного на странице 173 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №864 (с. 173), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться