Номер 864, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 864, страница 173.

Условие.

864. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:

а) х² + 2х + 2;
б) 4у² − 4у + 6;

в) а² + b² − 2ab + 1;
г) 9х² + 4 − 6ху + 4у².

Решение 1.

а) х² + 2х + 2 =
= x² + 2x + 1 + 1 =
= (x + 1)² + 1 > 0;

б) 4у² − 4у + 6 =
= 4y² - 4y + 1 + 5 =
= (2y - 1)² + 5 > 0;

в) а² + b² − 2ab + 1 =
= (a - b)² + 1 > 0;

г) 9х² + 4 − 6ху + 4у² =
= (3x - y)² + 3y² + 4 > 0.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что выражение принимает лишь положительные значения, мы преобразуем каждое из них, выделив полный квадрат. Полный квадрат — это выражение вида $(a \pm b)^2$, которое всегда неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

а) $x^2 + 2x + 2$

Чтобы выделить полный квадрат, представим число 2 в виде суммы $1 + 1$.
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$
Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(x+1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

б) $4y^2 - 4y + 6$

Выделим в выражении полный квадрат. Для этого представим число 6 как $1 + 5$.
$4y^2 - 4y + 6 = 4y^2 - 4y + 1 + 5$
Первые три слагаемых представляют собой квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2y$ и $b=1$.
$(4y^2 - 4y + 1) + 5 = (2y-1)^2 + 5$
Квадрат любого числа $(2y-1)^2$ всегда больше или равен нулю: $(2y-1)^2 \ge 0$.
Значит, наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 5 = 5$.
Поскольку $5 > 0$, выражение $4y^2 - 4y + 6$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

в) $a^2 + b^2 - 2ab + 1$

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:
$(a^2 - 2ab + b^2) + 1$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a-b)^2 + 1$.
Выражение $(a-b)^2$ как квадрат числа всегда неотрицательно: $(a-b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(a-b)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.

г) $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$

Переставим слагаемые для удобства:
$9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4$
Чтобы выделить полный квадрат, представим $4y^2$ в виде суммы $y^2 + 3y^2$.
$9x^2 - 6xy + y^2 + 3y^2 + 4$
Теперь сгруппируем первые три члена. Они образуют квадрат разности $(3x-y)^2$, так как $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$.
$(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 = (3x-y)^2 + 3y^2 + 4$
Рассмотрим полученную сумму.
Первое слагаемое $(3x-y)^2$ является квадратом, поэтому $(3x-y)^2 \ge 0$.
Второе слагаемое $3y^2$ также неотрицательно, так как $y^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение суммы первых двух слагаемых равно 0 (оно достигается при $x=0$ и $y=0$).
Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 0 + 4 = 4$.
Так как $4 > 0$, выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.