Номер 864, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, оранжевый, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-102535-4, 978-5-09-110804-0
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 864, страница 173.
№864 (с. 173)
Условие. №864 (с. 173)
скриншот условия

864. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
б) 4у2 − 4у + 6;
г) 9х2 + 4 − 6ху + 4у2.
Решение 1. №864 (с. 173)

Решение 2. №864 (с. 173)




Решение 3. №864 (с. 173)

Решение 4. №864 (с. 173)


Решение 5. №864 (с. 173)
Для доказательства того, что выражение принимает лишь положительные значения, мы преобразуем каждое из них, выделив полный квадрат. Полный квадрат — это выражение вида $(a \pm b)^2$, которое всегда неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
а) $x^2 + 2x + 2$
Чтобы выделить полный квадрат, представим число 2 в виде суммы $1 + 1$.
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$
Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(x+1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.
б) $4y^2 - 4y + 6$
Выделим в выражении полный квадрат. Для этого представим число 6 как $1 + 5$.
$4y^2 - 4y + 6 = 4y^2 - 4y + 1 + 5$
Первые три слагаемых представляют собой квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2y$ и $b=1$.
$(4y^2 - 4y + 1) + 5 = (2y-1)^2 + 5$
Квадрат любого числа $(2y-1)^2$ всегда больше или равен нулю: $(2y-1)^2 \ge 0$.
Значит, наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 5 = 5$.
Поскольку $5 > 0$, выражение $4y^2 - 4y + 6$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.
в) $a^2 + b^2 - 2ab + 1$
Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:
$(a^2 - 2ab + b^2) + 1$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a-b)^2 + 1$.
Выражение $(a-b)^2$ как квадрат числа всегда неотрицательно: $(a-b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(a-b)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ всегда положительно.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.
г) $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$
Переставим слагаемые для удобства:
$9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4$
Чтобы выделить полный квадрат, представим $4y^2$ в виде суммы $y^2 + 3y^2$.
$9x^2 - 6xy + y^2 + 3y^2 + 4$
Теперь сгруппируем первые три члена. Они образуют квадрат разности $(3x-y)^2$, так как $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$.
$(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 = (3x-y)^2 + 3y^2 + 4$
Рассмотрим полученную сумму.
Первое слагаемое $(3x-y)^2$ является квадратом, поэтому $(3x-y)^2 \ge 0$.
Второе слагаемое $3y^2$ также неотрицательно, так как $y^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение суммы первых двух слагаемых равно 0 (оно достигается при $x=0$ и $y=0$).
Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 0 + 4 = 4$.
Так как $4 > 0$, выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: доказано, что выражение принимает лишь положительные значения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 864 расположенного на странице 173 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №864 (с. 173), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.