Номер 2, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 2, страница 174.

2 Напишите формулу квадрата разности. Проведите доказательство.

Формула квадрата разности

Формула квадрата разности является одной из ключевых формул сокращенного умножения в алгебре. Она гласит, что квадрат разности двух любых выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Для любых выражений $a$ и $b$ данная формула записывается следующим образом:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство

Доказательство этой формулы проводится путем алгебраического преобразования ее левой части.

1. Согласно определению степени, квадрат выражения $(a - b)$ есть произведение этого выражения на само себя:
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

2. Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

3. Выполним операции умножения:
$a^2 - ab - ba + b^2$

4. Поскольку в алгебре умножение коммутативно (то есть, $ab = ba$), мы можем привести подобные слагаемые:
$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного выражения тождественно равна правой: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Формула доказана.

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$