Номер 869, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

869. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) (3 + а)³; б) (х − 2)³.

а) Для того чтобы преобразовать выражение $(3+a)^3$ в многочлен, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для куба суммы двух выражений: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

В данном выражении $A=3$ и $B=a$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3+a)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot a + 3 \cdot 3 \cdot a^2 + a^3$

Теперь выполним вычисления для каждого слагаемого:

$3^3 = 27$

$3 \cdot 3^2 \cdot a = 3 \cdot 9 \cdot a = 27a$

$3 \cdot 3 \cdot a^2 = 9a^2$

Собрав все слагаемые вместе, получим многочлен:

$27 + 27a + 9a^2 + a^3$

Для стандартного вида многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $a$:

$a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

Ответ: $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.

б) Чтобы преобразовать выражение $(x-2)^3$ в многочлен, воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба разности двух выражений: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

В данном выражении $A=x$ и $B=2$.

Подставим эти значения в формулу:

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

Теперь выполним вычисления для каждого члена выражения:

$3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2$

$3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$

$2^3 = 8$

Собираем все члены вместе и получаем итоговый многочлен:

$x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Многочлен уже записан в стандартном виде.

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.