Номер 863, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

863. Докажите, что при любом значении х многочлен х² + 6х + 10 принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает положительные значения при любом значении $x$, можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Выделение полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена к виду, из которого очевидна его положительность. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Рассмотрим наш многочлен $x^2 + 6x + 10$. Первые два слагаемых $x^2 + 6x$ похожи на $a^2 + 2ab$. Если принять $a=x$, то $2xb = 6x$, откуда $b=3$. Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$.

Представим свободный член 10 в виде суммы $9 + 1$ и перегруппируем слагаемые в многочлене:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+3)^2$. Таким образом, мы можем переписать исходный многочлен в следующем виде:

$x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1$

Теперь проанализируем полученное выражение. Выражение $(x+3)^2$ является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \geq 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, сумма $(x+3)^2 + 1$ будет всегда не меньше, чем $0 + 1 = 1$.

$(x+3)^2 + 1 \geq 1$

Поскольку наименьшее значение многочлена равно 1, а 1 > 0, то многочлен $x^2 + 6x + 10$ всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен $x^2 + 6x + 10$ можно представить в виде $(x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \geq 0$ для любого $x$, то $(x+3)^2 + 1 \geq 1$, что доказывает, что многочлен всегда принимает положительные значения.

Способ 2: Использование дискриминанта

Рассмотрим многочлен как квадратичную функцию $y(x) = x^2 + 6x + 10$. Графиком этой функции является парабола.

Для стандартного вида квадратичной функции $ax^2 + bx + c$, коэффициенты в нашем случае равны: $a=1$, $b=6$, $c=10$.

1. Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Так как $a=1$, то $a > 0$, и ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант ($D$) квадратного трехчлена по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$

3. Знак дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, что соответствует количеству точек пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox). Поскольку дискриминант $D = -4 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает и не касается оси Ox.

Таким образом, мы имеем параболу, ветви которой направлены вверх, и которая не имеет точек пересечения с осью Ox. Это возможно только в том случае, если вся парабола целиком расположена выше оси Ox. А это, в свою очередь, означает, что функция $y(x) = x^2 + 6x + 10$ принимает только положительные значения при любом значении $x$.

Ответ: Для квадратичного многочлена $x^2 + 6x + 10$ старший коэффициент $a=1 > 0$ и дискриминант $D = -4 < 0$. Это означает, что график соответствующей функции (парабола) полностью лежит выше оси абсцисс, следовательно, многочлен принимает только положительные значения.