Номер 863, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

863. Докажите, что при любом значении х многочлен х² + 6х + 10 принимает положительные значения.

х² + 6х + 10 =
= x² + 6x + 9 + 1 =
= (x + 3)² + 1 > 0

при любом значении x.

Выделение полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена к виду, из которого очевидна его положительность. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Рассмотрим наш многочлен $x^2 + 6x + 10$. Первые два слагаемых $x^2 + 6x$ похожи на $a^2 + 2ab$. Если принять $a=x$, то $2xb = 6x$, откуда $b=3$. Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$.

Представим свободный член 10 в виде суммы $9 + 1$ и перегруппируем слагаемые в многочлене:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+3)^2$. Таким образом, мы можем переписать исходный многочлен в следующем виде:

$x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1$

Теперь проанализируем полученное выражение. Выражение $(x+3)^2$ является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \geq 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, сумма $(x+3)^2 + 1$ будет всегда не меньше, чем $0 + 1 = 1$.

$(x+3)^2 + 1 \geq 1$

Поскольку наименьшее значение многочлена равно 1, а 1 > 0, то многочлен $x^2 + 6x + 10$ всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен $x^2 + 6x + 10$ можно представить в виде $(x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \geq 0$ для любого $x$, то $(x+3)^2 + 1 \geq 1$, что доказывает, что многочлен всегда принимает положительные значения.