Номер 858, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 858, страница 173.

Условие.

858. Сравните с нулём значение выражения:
а) х² − 30х + 225;
б) −х² + 2ху − у².

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы сравнить значение выражения $x^2 - 30x + 225$ с нулём, преобразуем его, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном выражении $a^2$ соответствует $x^2$, значит $a=x$. $b^2$ соответствует $225$, значит $b = \sqrt{225} = 15$.
Проверим, соответствует ли средний член $-30x$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot x \cdot 15 = -30x$.
Так как все члены совпадают, выражение можно свернуть в полный квадрат:
$x^2 - 30x + 225 = (x-15)^2$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. То есть, $(x-15)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Значение выражения равно нулю, если $x-15=0$, то есть $x=15$. Во всех остальных случаях значение выражения будет положительным.
Ответ: Значение выражения $x^2 - 30x + 225$ больше или равно нулю.

б)

Чтобы сравнить значение выражения $-x^2 + 2xy - y^2$ с нулём, вынесем знак минус за скобки:
$-x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$.
Выражение в скобках $x^2 - 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как:
$-(x-y)^2$.
Выражение $(x-y)^2$, как квадрат любого действительного числа, всегда больше или равно нулю: $(x-y)^2 \ge 0$.
Если неотрицательное выражение умножить на $-1$, результат всегда будет меньше или равен нулю.
Следовательно, $-(x-y)^2 \le 0$ при любых значениях $x$ и $y$.
Значение выражения равно нулю, если $x-y=0$, то есть $x=y$. Во всех остальных случаях, когда $x \neq y$, значение выражения будет отрицательным.
Ответ: Значение выражения $-x^2 + 2xy - y^2$ меньше или равно нулю.