Номер 860, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 860, страница 173.

Условие.

860. Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+9=$

$={\left(\frac{1}{2}\mathrm{x}\right)}^2+2·\frac{1}{2}\mathrm{x}·3+3^2=$

$={\left(\frac{1}{2}\mathrm{x}+3\right)}^2;$

б) 25a² - 30ab + 9b² =
= (5a)² - 2 ⋅ 5a ⋅ 3b + (3b)² =
= (5a - 3b)²;

в) p² - 2p + 4 = p² - 2p + 2² – представить в виде квадрата двучлена невозможно;

$\mathbf{г}\mathbf{)} \frac{1}{9}{\mathrm{x}}^2+\frac{2}{15}\mathrm{xy}+\frac{1}{25}{\mathrm{y}}^2=$

$={\left(\frac{1}{3}\mathrm{x}\right)}^2+2·\frac{1}{3}\mathrm{x}·\frac{1}{5}\mathrm{y}+{\left(\frac{1}{5}\mathrm{y}\right)}^2=$

$={\left(\frac{1}{3}\mathrm{x}+\frac{1}{5}\mathrm{y}\right)}^2;$

д) 100b² + 9c² - 60bc =
= (10b)² + (3c)² - 2 ⋅10b ⋅ 3c =
= (10b - 3c)²;

е) 49x² + 12xy + 64y² =
= (7x)² + 12xy + (8y)² – представить в виде квадрата двучлена невозможно/

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, необходимо проверить, соответствует ли оно формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ или квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

В выражении $\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9$ определим возможные значения для $a$ и $b$.

Первый член можно представить как квадрат: $\frac{1}{4}x^2 = (\frac{1}{2}x)^2$. Пусть $a = \frac{1}{2}x$.

Третий член также является квадратом: $9 = 3^2$. Пусть $b = 3$.

Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 3 = 1 \cdot x \cdot 3 = 3x$.

Средний член выражения $(3x)$ совпадает с результатом проверки, значит, выражение можно представить в виде квадрата суммы.

$\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 = (\frac{1}{2}x + 3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}x+3)^2$.

б) В выражении $25a^2 - 30ab + 9b^2$ проверим соответствие формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

Первый член: $25a^2 = (5a)^2$. Пусть $a$ из формулы равно $5a$.

Третий член: $9b^2 = (3b)^2$. Пусть $b$ из формулы равно $3b$.

Проверим удвоенное произведение $2ab$:

$2 \cdot (5a) \cdot (3b) = 30ab$.

Средний член выражения равен $-30ab$, что соответствует $-2ab$ в формуле. Следовательно, выражение является квадратом разности.

$25a^2 - 30ab + 9b^2 = (5a - 3b)^2$.

Ответ: $(5a-3b)^2$.

в) В выражении $p^2 - 2p + 4$ определим возможные значения $a$ и $b$.

Первый член: $p^2 = (p)^2$. Пусть $a = p$.

Третий член: $4 = 2^2$. Пусть $b = 2$.

Проверим удвоенное произведение для формулы квадрата разности:

$2ab = 2 \cdot p \cdot 2 = 4p$.

Средний член выражения равен $-2p$, а требуемое значение $-2ab$ равно $-4p$. Так как $-2p \neq -4p$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

г) В выражении $\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2$ проверим соответствие формуле квадрата суммы.

Первый член: $\frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$. Пусть $a = \frac{1}{3}x$.

Третий член: $\frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$. Пусть $b = \frac{1}{5}y$.

Проверим удвоенное произведение $2ab$:

$2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) = \frac{2xy}{15} = \frac{2}{15}xy$.

Средний член выражения совпадает с результатом проверки.

$\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y)^2$.

д) Перепишем выражение $100b^2 + 9c^2 - 60bc$ в стандартном виде: $100b^2 - 60bc + 9c^2$.

Проверим его на соответствие формуле квадрата разности.

Первый член: $100b^2 = (10b)^2$. Пусть $a = 10b$.

Третий член: $9c^2 = (3c)^2$. Пусть $b = 3c$.

Проверим удвоенное произведение $2ab$:

$2 \cdot (10b) \cdot (3c) = 60bc$.

Средний член выражения равен $-60bc$, что соответствует $-2ab$.

$100b^2 - 60bc + 9c^2 = (10b - 3c)^2$.

Ответ: $(10b-3c)^2$.

е) В выражении $49x^2 + 12xy + 64y^2$ определим возможные значения $a$ и $b$.

Первый член: $49x^2 = (7x)^2$. Пусть $a = 7x$.

Третий член: $64y^2 = (8y)^2$. Пусть $b = 8y$.

Проверим удвоенное произведение для формулы квадрата суммы:

$2ab = 2 \cdot (7x) \cdot (8y) = 112xy$.

Средний член выражения равен $12xy$, а требуемое значение $2ab$ равно $112xy$. Так как $12xy \neq 112xy$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.