Номер 867, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

867. Представьте в виде многочлена:

а) Чтобы представить выражение $(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x)$ в виде многочлена, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Это делается по правилу умножения многочлена на многочлен.

$(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x) = x^2 \cdot (2y - x) + 4xy \cdot (2y - x) - y^2 \cdot (2y - x)$

Теперь раскроем скобки, умножая каждый член в скобках:

$x^2 \cdot 2y + x^2 \cdot (-x) + 4xy \cdot 2y + 4xy \cdot (-x) - y^2 \cdot 2y - y^2 \cdot (-x) = 2x^2y - x^3 + 8xy^2 - 4x^2y - 2y^3 + xy^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью):

$-x^3 + (2x^2y - 4x^2y) + (8xy^2 + xy^2) - 2y^3 = -x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$

Ответ: $-x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$

б) Умножим многочлен $(3 - a)$ на многочлен $(a^3 - 4a^2 - 5a)$.

$(3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a) = 3 \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a) - a \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a)$

Раскроем скобки:

$3 \cdot a^3 + 3 \cdot (-4a^2) + 3 \cdot (-5a) - a \cdot a^3 - a \cdot (-4a^2) - a \cdot (-5a) = 3a^3 - 12a^2 - 15a - a^4 + 4a^3 + 5a^2$

Приведем подобные члены и расположим их по убыванию степеней переменной $a$:

$-a^4 + (3a^3 + 4a^3) + (-12a^2 + 5a^2) - 15a = -a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$

Ответ: $-a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$

в) Выполним умножение многочленов $(a^2 - 4ab + b^2)$ и $(2a - b)$.

$(a^2 - 4ab + b^2)(2a - b) = a^2 \cdot (2a - b) - 4ab \cdot (2a - b) + b^2 \cdot (2a - b)$

Раскроем скобки:

$a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot (-b) - 4ab \cdot 2a - 4ab \cdot (-b) + b^2 \cdot 2a + b^2 \cdot (-b) = 2a^3 - a^2b - 8a^2b + 4ab^2 + 2ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$2a^3 + (-a^2b - 8a^2b) + (4ab^2 + 2ab^2) - b^3 = 2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$

Ответ: $2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$

г) Данное выражение $(x - p)(x^2 + px + p^2)$ является формулой сокращенного умножения, а именно "разностью кубов". Формула имеет вид: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном случае $a = x$ и $b = p$. Применив формулу, получаем:

$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x^3 - p^3$

Можно также проверить этот результат, выполнив умножение пошагово:

$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x(x^2 + px + p^2) - p(x^2 + px + p^2) = x^3 + px^2 + p^2x - px^2 - p^2x - p^3$

Сокращая подобные слагаемые $(px^2 - px^2)$ и $(p^2x - p^2x)$, получаем:

$x^3 - p^3$

Ответ: $x^3 - p^3$