Номер 1, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1, страница 174.

1 Напишите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство.

Напишите формулу квадрата суммы

Формула квадрата суммы двух выражений ($a$ и $b$) гласит, что квадрат их суммы равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
В математическом виде формула записывается следующим образом:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Проведите доказательство

Доказательство тождества $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ можно провести двумя способами: алгебраическим и геометрическим.

1. Алгебраическое доказательство
По определению возведения в степень, квадрат выражения $(a+b)$ — это результат умножения этого выражения на само себя:
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$
Далее, используя распределительный закон умножения (перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй), раскроем скобки:
$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется (коммутативный закон умножения), то $ab = ba$. Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Таким образом, тождество доказано: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Геометрическое доказательство
Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна $(a+b)$. Его площадь $S$ равна квадрату стороны, то есть $S = (a+b)^2$.
Теперь разделим этот квадрат на четыре части, проведя линии, параллельные сторонам, на расстоянии $a$ от одного из углов. В результате мы получим:
- один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$;
- один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$;
- два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, площадь каждого из которых равна $ab$.
Общая площадь большого квадрата может быть найдена как сумма площадей этих четырех фигур:
$S = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$
Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же квадрата, они равны между собой:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Тождество доказано геометрически.

Ответ: Верность формулы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ доказана алгебраическим и геометрическим методами.