Страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

867. Представьте в виде многочлена:

а) Чтобы представить выражение $(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x)$ в виде многочлена, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Это делается по правилу умножения многочлена на многочлен.

$(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x) = x^2 \cdot (2y - x) + 4xy \cdot (2y - x) - y^2 \cdot (2y - x)$

Теперь раскроем скобки, умножая каждый член в скобках:

$x^2 \cdot 2y + x^2 \cdot (-x) + 4xy \cdot 2y + 4xy \cdot (-x) - y^2 \cdot 2y - y^2 \cdot (-x) = 2x^2y - x^3 + 8xy^2 - 4x^2y - 2y^3 + xy^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью):

$-x^3 + (2x^2y - 4x^2y) + (8xy^2 + xy^2) - 2y^3 = -x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$

Ответ: $-x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$

б) Умножим многочлен $(3 - a)$ на многочлен $(a^3 - 4a^2 - 5a)$.

$(3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a) = 3 \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a) - a \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a)$

Раскроем скобки:

$3 \cdot a^3 + 3 \cdot (-4a^2) + 3 \cdot (-5a) - a \cdot a^3 - a \cdot (-4a^2) - a \cdot (-5a) = 3a^3 - 12a^2 - 15a - a^4 + 4a^3 + 5a^2$

Приведем подобные члены и расположим их по убыванию степеней переменной $a$:

$-a^4 + (3a^3 + 4a^3) + (-12a^2 + 5a^2) - 15a = -a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$

Ответ: $-a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$

в) Выполним умножение многочленов $(a^2 - 4ab + b^2)$ и $(2a - b)$.

$(a^2 - 4ab + b^2)(2a - b) = a^2 \cdot (2a - b) - 4ab \cdot (2a - b) + b^2 \cdot (2a - b)$

Раскроем скобки:

$a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot (-b) - 4ab \cdot 2a - 4ab \cdot (-b) + b^2 \cdot 2a + b^2 \cdot (-b) = 2a^3 - a^2b - 8a^2b + 4ab^2 + 2ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$2a^3 + (-a^2b - 8a^2b) + (4ab^2 + 2ab^2) - b^3 = 2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$

Ответ: $2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$

г) Данное выражение $(x - p)(x^2 + px + p^2)$ является формулой сокращенного умножения, а именно "разностью кубов". Формула имеет вид: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном случае $a = x$ и $b = p$. Применив формулу, получаем:

$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x^3 - p^3$

Можно также проверить этот результат, выполнив умножение пошагово:

$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x(x^2 + px + p^2) - p(x^2 + px + p^2) = x^3 + px^2 + p^2x - px^2 - p^2x - p^3$

Сокращая подобные слагаемые $(px^2 - px^2)$ и $(p^2x - p^2x)$, получаем:

$x^3 - p^3$

Ответ: $x^3 - p^3$

868. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

Чтобы представить выражение в виде квадрата одночлена, необходимо каждый множитель в одночлене представить в виде квадрата. Для этого извлекаем квадратный корень из числового коэффициента и делим показатель степени каждой переменной на 2. Используем свойство степени $(a^n)^m = a^{nm}$ и свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.

а) Представим выражение $4x^4$ в виде квадрата одночлена.
Числовой коэффициент 4 можно представить как $2^2$.
Переменную $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$, так как $x^4 = x^{2 \cdot 2}$.
Следовательно, $4x^4 = 2^2 \cdot (x^2)^2 = (2x^2)^2$.
Ответ: $(2x^2)^2$.

б) Представим выражение $0,25a^4$ в виде квадрата одночлена.
Числовой коэффициент 0,25 можно представить как $(0,5)^2$.
Переменную $a^4$ можно представить как $(a^2)^2$, так как $a^4 = a^{2 \cdot 2}$.
Следовательно, $0,25a^4 = (0,5)^2 \cdot (a^2)^2 = (0,5a^2)^2$.
Ответ: $(0,5a^2)^2$.

в) Представим выражение $36m^6$ в виде квадрата одночлена.
Числовой коэффициент 36 можно представить как $6^2$.
Переменную $m^6$ можно представить как $(m^3)^2$, так как $m^6 = m^{3 \cdot 2}$.
Следовательно, $36m^6 = 6^2 \cdot (m^3)^2 = (6m^3)^2$.
Ответ: $(6m^3)^2$.

г) Представим выражение $a^2b^4$ в виде квадрата одночлена.
Переменную $a^2$ уже является квадратом $a$, то есть $a^2 = (a)^2$.
Переменную $b^4$ можно представить как $(b^2)^2$, так как $b^4 = b^{2 \cdot 2}$.
Следовательно, $a^2b^4 = a^2 \cdot (b^2)^2 = (ab^2)^2$.
Ответ: $(ab^2)^2$.

д) Представим выражение $9a^4b^2$ в виде квадрата одночлена.
Числовой коэффициент 9 можно представить как $3^2$.
Переменную $a^4$ можно представить как $(a^2)^2$.
Переменную $b^2$ можно представить как $(b)^2$.
Следовательно, $9a^4b^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = (3a^2b)^2$.
Ответ: $(3a^2b)^2$.

е) Представим выражение $0,16x^6y^4$ в виде квадрата одночлена.
Числовой коэффициент 0,16 можно представить как $(0,4)^2$.
Переменную $x^6$ можно представить как $(x^3)^2$.
Переменную $y^4$ можно представить как $(y^2)^2$.
Следовательно, $0,16x^6y^4 = (0,4)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 = (0,4x^3y^2)^2$.
Ответ: $(0,4x^3y^2)^2$.

869. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) (3 + а)³; б) (х − 2)³.

а) Для того чтобы преобразовать выражение $(3+a)^3$ в многочлен, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для куба суммы двух выражений: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

В данном выражении $A=3$ и $B=a$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3+a)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot a + 3 \cdot 3 \cdot a^2 + a^3$

Теперь выполним вычисления для каждого слагаемого:

$3^3 = 27$

$3 \cdot 3^2 \cdot a = 3 \cdot 9 \cdot a = 27a$

$3 \cdot 3 \cdot a^2 = 9a^2$

Собрав все слагаемые вместе, получим многочлен:

$27 + 27a + 9a^2 + a^3$

Для стандартного вида многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $a$:

$a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

Ответ: $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.

б) Чтобы преобразовать выражение $(x-2)^3$ в многочлен, воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба разности двух выражений: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

В данном выражении $A=x$ и $B=2$.

Подставим эти значения в формулу:

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

Теперь выполним вычисления для каждого члена выражения:

$3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2$

$3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$

$2^3 = 8$

Собираем все члены вместе и получаем итоговый многочлен:

$x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Многочлен уже записан в стандартном виде.

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Напишите формулу квадрата суммы

Формула квадрата суммы двух выражений ($a$ и $b$) гласит, что квадрат их суммы равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
В математическом виде формула записывается следующим образом:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Проведите доказательство

Доказательство тождества $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ можно провести двумя способами: алгебраическим и геометрическим.

1. Алгебраическое доказательство
По определению возведения в степень, квадрат выражения $(a+b)$ — это результат умножения этого выражения на само себя:
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$
Далее, используя распределительный закон умножения (перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй), раскроем скобки:
$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется (коммутативный закон умножения), то $ab = ba$. Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Таким образом, тождество доказано: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Геометрическое доказательство
Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна $(a+b)$. Его площадь $S$ равна квадрату стороны, то есть $S = (a+b)^2$.
Теперь разделим этот квадрат на четыре части, проведя линии, параллельные сторонам, на расстоянии $a$ от одного из углов. В результате мы получим:
- один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$;
- один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$;
- два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, площадь каждого из которых равна $ab$.
Общая площадь большого квадрата может быть найдена как сумма площадей этих четырех фигур:
$S = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$
Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же квадрата, они равны между собой:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Тождество доказано геометрически.

Ответ: Верность формулы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ доказана алгебраическим и геометрическим методами.

Формула квадрата разности

Формула квадрата разности является одной из ключевых формул сокращенного умножения в алгебре. Она гласит, что квадрат разности двух любых выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Для любых выражений $a$ и $b$ данная формула записывается следующим образом:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство

Доказательство этой формулы проводится путем алгебраического преобразования ее левой части.

1. Согласно определению степени, квадрат выражения $(a - b)$ есть произведение этого выражения на само себя:
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

2. Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

3. Выполним операции умножения:
$a^2 - ab - ba + b^2$

4. Поскольку в алгебре умножение коммутативно (то есть, $ab = ba$), мы можем привести подобные слагаемые:
$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного выражения тождественно равна правой: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Формула доказана.

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата суммы, является так называемым полным квадратом. Он получается при возведении в квадрат суммы двух слагаемых. Для этого используется формула сокращённого умножения – квадрат суммы.

Общая формула для квадрата суммы двух выражений a и b выглядит так:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Результат раскрытия скобок, $a^2 + 2ab + b^2$, и есть трёхчлен. Он состоит из трёх членов:

• квадрата первого слагаемого ($a^2$);
• удвоенного произведения первого и второго слагаемых ($2ab$);
• квадрата второго слагаемого ($b^2$).

Чтобы привести конкретный пример, мы можем выбрать любые числа или переменные в качестве a и b и подставить их в формулу.

Например, выберем $a = x$ и $b = 4$.

Теперь подставим эти значения в формулу квадрата суммы:

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$

Упростим выражение:

$x^2 + 8x + 16$

Таким образом, трёхчлен $x^2 + 8x + 16$ является примером трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы $(x + 4)$.

Ответ: $x^2 + 8x + 16$.

Чтобы привести пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности, необходимо воспользоваться соответствующей формулой сокращённого умножения:

$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

Выражение в правой части этой формулы, $a^2 - 2ab + b^2$, является трёхчленом (состоит из трёх слагаемых) и по определению представляет собой квадрат разности выражений a и b.

Для получения конкретного примера достаточно выбрать любые выражения или числа в качестве a и b.

Например, пусть $a = x$ и $b = 4$.

Подставим эти значения в формулу $a^2 - 2ab + b^2$:

$ x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 $

Таким образом, трёхчлен $x^2 - 8x + 16$ является искомым примером, так как его можно представить в виде квадрата разности: $ (x - 4)^2 $.

Ответ: $x^2 - 8x + 16$.

Напишите формулу куба суммы.

Формула куба суммы двух выражений, a и b, является одной из основных формул сокращенного умножения. Она выглядит следующим образом:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Словесно эта формула читается так: куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

Ответ: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Возведите в куб двучлен a + 2b.

Чтобы возвести двучлен $(a + 2b)$ в куб, мы применим формулу куба суммы, рассмотренную выше: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В данном выражении в качестве первого слагаемого $x$ выступает $a$, а в качестве второго слагаемого $y$ выступает $2b$.

Подставим $a$ и $2b$ в формулу вместо $x$ и $y$ соответственно:

$(a + 2b)^3 = (a)^3 + 3 \cdot (a)^2 \cdot (2b) + 3 \cdot (a) \cdot (2b)^2 + (2b)^3$

Далее, выполним вычисления для каждого члена выражения пошагово:

1. Куб первого члена: $(a)^3 = a^3$.
2. Утроенное произведение квадрата первого члена на второй: $3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b$.
3. Утроенное произведение первого члена на квадрат второго: $3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$.
4. Куб второго члена: $(2b)^3 = 2^3b^3 = 8b^3$.

Теперь сложим все полученные результаты, чтобы получить итоговый многочлен:

$(a + 2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

Напишите формулу куба разности.

Формула куба разности двух выражений $a$ и $b$ является одной из формул сокращенного умножения и выглядит следующим образом:
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Словесно эта формула звучит так: куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Возведите в куб двучлен 3x – y.

Для возведения двучлена $3x - y$ в куб воспользуемся формулой куба разности. В данном случае в роли $a$ выступает $3x$, а в роли $b$ – $y$.
Исходная формула: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Подставляем наши значения $a = 3x$ и $b = y$ в формулу:
$(3x - y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot (3x) \cdot y^2 - y^3$
Теперь выполним вычисления для каждого члена выражения:
1. Куб первого члена: $(3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 = 27x^3$
2. Утроенное произведение квадрата первого члена на второй: $3 \cdot (3x)^2 \cdot y = 3 \cdot (9x^2) \cdot y = 27x^2y$
3. Утроенное произведение первого члена на квадрат второго: $3 \cdot (3x) \cdot y^2 = 9xy^2$
4. Куб второго члена: $y^3$
Соединяем все полученные части, соблюдая знаки из формулы:
$27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

Ответ: $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$