Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

815. Представьте выражение в виде многочлена:

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Раскроем скобки в выражении $(x + y)^2$, используя формулу квадрата суммы. В данном случае $a=x$ и $b=y$.

$(x + y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2$.

б) Раскроем скобки в выражении $(p - q)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a=p$ и $b=q$.

$(p - q)^2 = p^2 - 2 \cdot p \cdot q + q^2 = p^2 - 2pq + q^2$.

Ответ: $p^2 - 2pq + q^2$.

в) Раскроем скобки в выражении $(b + 3)^2$, используя формулу квадрата суммы. Здесь $a=b$ и $b=3$.

$(b + 3)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = b^2 + 6b + 9$.

Ответ: $b^2 + 6b + 9$.

г) Раскроем скобки в выражении $(10 - c)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a=10$ и $b=c$.

$(10 - c)^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot c + c^2 = 100 - 20c + c^2$.

Ответ: $100 - 20c + c^2$.

д) Раскроем скобки в выражении $(y - 9)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a=y$ и $b=9$.

$(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$.

Ответ: $y^2 - 18y + 81$.

е) Раскроем скобки в выражении $(9 - y)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a=9$ и $b=y$.

$(9 - y)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot y + y^2 = 81 - 18y + y^2$.

Ответ: $81 - 18y + y^2$.

ж) Раскроем скобки в выражении $(a + 12)^2$, используя формулу квадрата суммы. Здесь $a=a$ и $b=12$.

$(a + 12)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 12 + 12^2 = a^2 + 24a + 144$.

Ответ: $a^2 + 24a + 144$.

з) Раскроем скобки в выражении $(15 - x)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a=15$ и $b=x$.

$(15 - x)^2 = 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot x + x^2 = 225 - 30x + x^2$.

Ответ: $225 - 30x + x^2$.

и) Раскроем скобки в выражении $(b - 0,5)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a=b$ и $b=0,5$.

$(b - 0,5)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 0,5 + (0,5)^2 = b^2 - b + 0,25$.

Ответ: $b^2 - b + 0,25$.

к) Раскроем скобки в выражении $(0,3 - m)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a=0,3$ и $b=m$.

$(0,3 - m)^2 = (0,3)^2 - 2 \cdot 0,3 \cdot m + m^2 = 0,09 - 0,6m + m^2$.

Ответ: $0,09 - 0,6m + m^2$.

816. Преобразуйте выражение в многочлен:

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Преобразуем выражение $(m + n)^2$, используя формулу квадрата суммы. В данном случае $a = m$ и $b = n$.

$(m + n)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot n + n^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Ответ: $m^2 + 2mn + n^2$.

б) Преобразуем выражение $(c - d)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $a = c$ и $b = d$.

$(c - d)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot d + d^2 = c^2 - 2cd + d^2$.

Ответ: $c^2 - 2cd + d^2$.

в) Преобразуем выражение $(x + 9)^2$, используя формулу квадрата суммы, где $a = x$ и $b = 9$.

$(x + 9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81$.

Ответ: $x^2 + 18x + 81$.

г) Преобразуем выражение $(8 - a)^2$, используя формулу квадрата разности, где $a_ф = 8$ и $b_ф = a$.

$(8 - a)^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot a + a^2 = 64 - 16a + a^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $a^2 - 16a + 64$.

Ответ: $a^2 - 16a + 64$.

д) Преобразуем выражение $(a - 25)^2$, используя формулу квадрата разности, где $a_ф = a$ и $b_ф = 25$.

$(a - 25)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 25 + 25^2 = a^2 - 50a + 625$.

Ответ: $a^2 - 50a + 625$.

е) Преобразуем выражение $(40 + b)^2$, используя формулу квадрата суммы, где $a = 40$ и $b = b$.

$(40 + b)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot b + b^2 = 1600 + 80b + b^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $b^2 + 80b + 1600$.

Ответ: $b^2 + 80b + 1600$.

ж) Преобразуем выражение $(0,2 - x)^2$, используя формулу квадрата разности, где $a = 0,2$ и $b = x$.

$(0,2 - x)^2 = (0,2)^2 - 2 \cdot 0,2 \cdot x + x^2 = 0,04 - 0,4x + x^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $x^2 - 0,4x + 0,04$.

Ответ: $x^2 - 0,4x + 0,04$.

з) Преобразуем выражение $(k - 0,5)^2$, используя формулу квадрата разности, где $a = k$ и $b = 0,5$.

$(k - 0,5)^2 = k^2 - 2 \cdot k \cdot 0,5 + (0,5)^2 = k^2 - k + 0,25$.

Ответ: $k^2 - k + 0,25$.

817. С помощью рисунка 86 разъясните геометрический смысл формулы (а − b)² = а² − 2аb + b² для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

Геометрический смысл формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ можно разъяснить с помощью представленного рисунка, рассматривая площади фигур.

1. На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{большой} = a \cdot a = a^2$.

2. Внутри большого квадрата выделен серый квадрат. Длина стороны этого серого квадрата равна $(a-b)$, так как она получается вычитанием отрезка $b$ из стороны большого квадрата $a$. Площадь серого квадрата равна $S_{серый} = (a-b) \cdot (a-b) = (a-b)^2$. Это выражение является левой частью доказываемой формулы.

3. Теперь выразим площадь серого квадрата через другие площади, чтобы прийти к правой части формулы. Площадь серого квадрата можно получить, если из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площадь "Г-образной" фигуры, состоящей из двух светло-голубых прямоугольников и одного темно-голубого квадрата.

Рассмотрим другой способ вычисления. Возьмем площадь большого квадрата $a^2$.

• Вычтем из нее площадь вертикального прямоугольника, состоящего из правого светло-голубого прямоугольника и темно-голубого квадрата. Размеры этого вертикального прямоугольника – $a$ в высоту и $b$ в ширину. Его площадь равна $ab$.
• Затем вычтем площадь горизонтального прямоугольника, состоящего из верхнего светло-голубого прямоугольника и темно-голубого квадрата. Размеры этого горизонтального прямоугольника – $a$ в ширину и $b$ в высоту. Его площадь также равна $ab$.

Когда мы вычитаем эти два прямоугольника из большого квадрата, мы фактически вычитаем $a^2 - ab - ab = a^2 - 2ab$. Однако, при этом площадь темно-голубого квадрата (со стороной $b$ и площадью $b^2$), который является областью пересечения этих двух прямоугольников, была вычтена дважды.

Чтобы скорректировать этот расчет и получить точную площадь серого квадрата, необходимо один раз вернуть (прибавить) площадь темно-голубого квадрата, которую мы вычли лишний раз.

Таким образом, площадь серого квадрата равна: $S_{серый} = S_{большой} - (\text{площадь верт. прямоугольника}) - (\text{площадь гор. прямоугольника}) + (\text{площадь их пересечения})$

Подставляя значения площадей, получаем: $(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Это и есть геометрическая интерпретация формулы квадрата разности.

Ответ: Площадь серого квадрата со стороной $(a-b)$, равная $(a-b)^2$, геометрически представляет собой площадь большого квадрата со стороной $a$ ($a^2$), из которой вычли площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ ($2ab$), при этом площадь их общего пересечения, квадрат со стороной $b$ ($b^2$), была вычтена дважды, поэтому ее необходимо прибавить один раз. Это доказывает тождество $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

818. Проверьте, что равенство n² + (n + 2)² + (n + 9)² = (n − 1)² + (n + 5)² + (n + 7)² + 10 верно при n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом n.

Проверьте, что равенство верно при n=3.

Подставим значение $n=3$ в левую и правую части исходного равенства:

$n^2+(n+2)^2+(n+9)^2=(n-1)^2+(n+5)^2+(n+7)^2+10$

Вычислим значение левой части (ЛЧ):

ЛЧ = $3^2+(3+2)^2+(3+9)^2 = 9 + 5^2 + 12^2 = 9 + 25 + 144 = 178$.

Вычислим значение правой части (ПЧ):

ПЧ = $(3-1)^2+(3+5)^2+(3+7)^2+10 = 2^2 + 8^2 + 10^2 + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178$.

Поскольку левая и правая части равны ($178 = 178$), равенство является верным при $n=3$.

Ответ: при $n=3$ равенство верно, так как обе его части равны 178.

Покажите, что это равенство верно при любом n.

Чтобы доказать, что равенство верно при любом значении $n$, необходимо выполнить тождественные преобразования обеих частей уравнения и убедиться, что они равны.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

ЛЧ = $n^2+(n^2+2 \cdot n \cdot 2 + 2^2) + (n^2+2 \cdot n \cdot 9 + 9^2) = n^2 + (n^2+4n+4) + (n^2+18n+81)$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

ЛЧ = $(n^2+n^2+n^2) + (4n+18n) + (4+81) = 3n^2+22n+85$.

Далее преобразуем правую часть равенства, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы:

ПЧ = $(n^2-2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) + (n^2+2 \cdot n \cdot 5 + 5^2) + (n^2+2 \cdot n \cdot 7 + 7^2) + 10 = (n^2-2n+1) + (n^2+10n+25) + (n^2+14n+49) + 10$.

Приведем подобные слагаемые:

ПЧ = $(n^2+n^2+n^2) + (-2n+10n+14n) + (1+25+49+10) = 3n^2+22n+85$.

Сравнивая результаты преобразований, видим, что левая и правая части равенства тождественно равны:

$3n^2+22n+85 = 3n^2+22n+85$.

Это доказывает, что исходное равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $n$.

Ответ: равенство является тождеством и верно при любом $n$.

819. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$.
$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Ответ: $4x^2 + 12x + 9$.

б) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 7y$ и $b = 6$.
$(7y - 6)^2 = (7y)^2 - 2 \cdot (7y) \cdot 6 + 6^2 = 49y^2 - 84y + 36$.
Ответ: $49y^2 - 84y + 36$.

в) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 10$ и $b = 8k$.
$(10 + 8k)^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot (8k) + (8k)^2 = 100 + 160k + 64k^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $64k^2 + 160k + 100$.
Ответ: $64k^2 + 160k + 100$.

г) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 5y$ и $b = 4x$.
$(5y - 4x)^2 = (5y)^2 - 2 \cdot (5y) \cdot (4x) + (4x)^2 = 25y^2 - 40xy + 16x^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $16x^2 - 40xy + 25y^2$.
Ответ: $16x^2 - 40xy + 25y^2$.

д) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 5a$ и $b = \frac{1}{5}b$.
$(5a + \frac{1}{5}b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{5}b) + (\frac{1}{5}b)^2 = 25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2$.
Ответ: $25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2$.

е) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = \frac{1}{4}m$ и $b = 2n$.
$(\frac{1}{4}m - 2n)^2 = (\frac{1}{4}m)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{4}m) \cdot (2n) + (2n)^2 = \frac{1}{16}m^2 - mn + 4n^2$.
Ответ: $\frac{1}{16}m^2 - mn + 4n^2$.

ж) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 0,3x$ и $b = 0,5a$.
$(0,3x - 0,5a)^2 = (0,3x)^2 - 2 \cdot (0,3x) \cdot (0,5a) + (0,5a)^2 = 0,09x^2 - 0,3ax + 0,25a^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $0,25a^2 - 0,3ax + 0,09x^2$.
Ответ: $0,25a^2 - 0,3ax + 0,09x^2$.

з) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 10c$ и $b = 0,1y$.
$(10c + 0,1y)^2 = (10c)^2 + 2 \cdot (10c) \cdot (0,1y) + (0,1y)^2 = 100c^2 + 2cy + 0,01y^2$.
Ответ: $100c^2 + 2cy + 0,01y^2$.

и) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 0,1b$ и $b = 10a$.
$(0,1b - 10a)^2 = (0,1b)^2 - 2 \cdot (0,1b) \cdot (10a) + (10a)^2 = 0,01b^2 - 2ab + 100a^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $100a^2 - 2ab + 0,01b^2$.
Ответ: $100a^2 - 2ab + 0,01b^2$.

820. Преобразуйте выражение в многочлен:

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Для преобразования выражения $(7 - 8b)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности, где $a = 7$ и $b = 8b$.

Выполним преобразование: $(7 - 8b)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8b + (8b)^2 = 49 - 112b + 64b^2$.

Ответ: $64b^2 - 112b + 49$.

б) Для преобразования выражения $(0,6 + 2x)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы, где $a = 0,6$ и $b = 2x$.

Выполним преобразование: $(0,6 + 2x)^2 = (0,6)^2 + 2 \cdot 0,6 \cdot 2x + (2x)^2 = 0,36 + 2,4x + 4x^2$.

Ответ: $4x^2 + 2,4x + 0,36$.

в) Для преобразования выражения $(\frac{1}{3}x - 3y)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности, где $a = \frac{1}{3}x$ и $b = 3y$.

Выполним преобразование: $(\frac{1}{3}x - 3y)^2 = (\frac{1}{3}x)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot 3y + (3y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - 2xy + 9y^2$.

Ответ: $\frac{1}{9}x^2 - 2xy + 9y^2$.

г) Для преобразования выражения $(4a + \frac{1}{8}b)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы, где $a = 4a$ и $b = \frac{1}{8}b$.

Выполним преобразование: $(4a + \frac{1}{8}b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot \frac{1}{8}b + (\frac{1}{8}b)^2 = 16a^2 + \frac{8}{8}ab + \frac{1}{64}b^2 = 16a^2 + ab + \frac{1}{64}b^2$.

Ответ: $16a^2 + ab + \frac{1}{64}b^2$.

д) Для преобразования выражения $(0,1m + 5n)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы, где $a = 0,1m$ и $b = 5n$.

Выполним преобразование: $(0,1m + 5n)^2 = (0,1m)^2 + 2 \cdot 0,1m \cdot 5n + (5n)^2 = 0,01m^2 + mn + 25n^2$.

Ответ: $0,01m^2 + mn + 25n^2$.

е) Для преобразования выражения $(12a - 0,3c)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности, где $a = 12a$ и $b = 0,3c$.

Выполним преобразование: $(12a - 0,3c)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 0,3c + (0,3c)^2 = 144a^2 - 7,2ac + 0,09c^2$.

Ответ: $144a^2 - 7,2ac + 0,09c^2$.