Страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

842. При каком значении х:
а) квадрат двучлена х + 1 на 120 больше квадрата двучлена х − 3;
б) квадрат двучлена 2х + 10 в 4 раза больше квадрата двучлена х − 5?

а)

По условию задачи, квадрат двучлена $x+1$ на 120 больше квадрата двучлена $x-3$. Это можно записать в виде уравнения:

$(x+1)^2 = (x-3)^2 + 120$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 120$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 + 120$

Упростим правую часть уравнения:

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 129$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$x^2 - x^2 + 2x + 6x = 129 - 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$8x = 128$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{128}{8}$

$x = 16$

Ответ: $16$.

б)

По условию задачи, квадрат двучлена $2x+10$ в 4 раза больше квадрата двучлена $x-5$. Составим соответствующее уравнение:

$(2x+10)^2 = 4 \cdot (x-5)^2$

Раскроем скобки, применяя те же формулы сокращенного умножения:

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 10 + 10^2 = 4 \cdot (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2)$

$4x^2 + 40x + 100 = 4(x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки в правой части, умножив каждый член в скобках на 4:

$4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 - 40x + 100$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$4x^2 - 4x^2 + 40x + 40x = 100 - 100$

Приведем подобные слагаемые:

$80x = 0$

Разделим обе части на 80, чтобы найти $x$:

$x = \frac{0}{80}$

$x = 0$

Ответ: $0$.

843. Пользуясь формулой куба суммы, преобразуйте в многочлен выражение:
а) (а + 2)³;
б) (2х + y)³;
в) (а + 3b)³.

Для решения данной задачи используется формула куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

а) Преобразуем выражение $(a + 2)^3$.
В данном случае $x = a$ и $y = 2$. Подставим эти значения в формулу:
$(a + 2)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3$
Упростим полученное выражение, выполняя вычисления:
$a^3 + 6a^2 + 3 \cdot a \cdot 4 + 8 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$
Ответ: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

б) Преобразуем выражение $(2x + y)^3$.
Здесь в качестве первого слагаемого выступает $2x$, а в качестве второго $y$. Применяем формулу:
$(2x + y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3$
Упростим каждый член многочлена:
$8x^3 + 3 \cdot (4x^2) \cdot y + 6xy^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$
Ответ: $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

в) Преобразуем выражение $(a + 3b)^3$.
В этом выражении $x = a$ и $y = 3b$. Подставляем в формулу:
$(a + 3b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (3b) + 3 \cdot a \cdot (3b)^2 + (3b)^3$
Выполним упрощение:
$a^3 + 9a^2b + 3 \cdot a \cdot (9b^2) + 27b^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$
Ответ: $a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$

844. Пользуясь формулой куба разности, преобразуйте в многочлен выражение:
a) (b − 4)³; б) (1 − 2с)³; в) (2а − 3)³.

Для преобразования выражений в многочлен воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба разности:

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

а) $(b - 4)^3$

В данном выражении $x = b$, а $y = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$(b - 4)^3 = b^3 - 3 \cdot b^2 \cdot 4 + 3 \cdot b \cdot 4^2 - 4^3$

Теперь упростим полученное выражение:

$b^3 - 12b^2 + 3 \cdot b \cdot 16 - 64 = b^3 - 12b^2 + 48b - 64$

Ответ: $b^3 - 12b^2 + 48b - 64$

б) $(1 - 2c)^3$

Здесь $x = 1$, а $y = 2c$. Подставим в формулу:

$(1 - 2c)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2c) + 3 \cdot 1 \cdot (2c)^2 - (2c)^3$

Упростим выражение, выполнив все действия:

$1 - 3 \cdot 1 \cdot 2c + 3 \cdot 4c^2 - 8c^3 = 1 - 6c + 12c^2 - 8c^3$

Ответ: $1 - 6c + 12c^2 - 8c^3$

в) $(2a - 3)^3$

В этом случае $x = 2a$, а $y = 3$. Применим формулу:

$(2a - 3)^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2a) \cdot 3^2 - 3^3$

Упростим, последовательно вычисляя каждый член многочлена:

$8a^3 - 3 \cdot (4a^2) \cdot 3 + 3 \cdot 2a \cdot 9 - 27 = 8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$

Ответ: $8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$

845. Упростите выражение:
а) (х + 3)³ − (х − 3)³;
б) (а − 2b)³ + 6аb(а − 2b).

а) Чтобы упростить выражение $(x + 3)^3 - (x - 3)^3$, воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Раскроем каждую скобку в исходном выражении:
Первая скобка: $(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$
Вторая скобка: $(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное и выполним вычитание:
$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27)$
Раскрываем скобки, меняя знаки у второго многочлена на противоположные, и приводим подобные слагаемые:
$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27 = (x^3 - x^3) + (9x^2 + 9x^2) + (27x - 27x) + (27 + 27) = 18x^2 + 54$
Ответ: $18x^2 + 54$

б) Для упрощения выражения $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b)$ можно использовать преобразованную формулу куба разности.
Стандартная формула куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Сгруппируем члены и вынесем общий множитель $-3xy$ за скобки:
$(x-y)^3 = (x^3 - y^3) - (3x^2y - 3xy^2) = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
Из этого равенства выразим разность кубов $x^3 - y^3$:
$x^3 - y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x - y)$
Теперь сравним эту формулу с нашим выражением $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b)$.
Если принять $x = a$ и $y = 2b$, то наше выражение примет вид:
$(x - y)^3 + 3xy(x - y)$
Проверим, совпадает ли член $6ab$ с $3xy$:
$3xy = 3 \cdot a \cdot (2b) = 6ab$
Так как выражения полностью совпадают, мы можем применить формулу разности кубов $x^3 - y^3$.
Подставим $x = a$ и $y = 2b$ обратно:
$x^3 - y^3 = a^3 - (2b)^3 = a^3 - 8b^3$
Ответ: $a^3 - 8b^3$

846. Запишите в виде выражения:
а) разность квадратов 2m и 7n;
б) квадрат разности х и 8у;
в) утроенное произведение 6а и b²;
г) произведение суммы a и b и их разности.

а) "Разность квадратов $2m$ и $7n$" означает, что из квадрата первого выражения нужно вычесть квадрат второго.
Квадрат выражения $2m$ равен $(2m)^2 = 4m^2$.
Квадрат выражения $7n$ равен $(7n)^2 = 49n^2$.
Таким образом, разность квадратов записывается как $4m^2 - 49n^2$.
Ответ: $4m^2 - 49n^2$

б) "Квадрат разности $x$ и $8y$" означает, что сначала нужно найти разность этих выражений, а затем возвести полученный результат в квадрат.
Разность выражений $x$ и $8y$ равна $x - 8y$.
Квадрат этой разности записывается как $(x - 8y)^2$.
Ответ: $(x - 8y)^2$

в) "Утроенное произведение $6a$ и $b^2$" означает, что нужно найти произведение этих выражений и умножить его на 3.
Произведение выражений $6a$ и $b^2$ равно $6a \cdot b^2 = 6ab^2$.
Утроенное произведение равно $3 \cdot (6ab^2) = 18ab^2$.
Ответ: $18ab^2$

г) "Произведение суммы $a$ и $b$ и их разности" означает, что нужно перемножить сумму этих выражений на их разность.
Сумма выражений $a$ и $b$ равна $a + b$.
Разность выражений $a$ и $b$ равна $a - b$.
Произведение суммы на разность записывается как $(a + b)(a - b)$.
Ответ: $(a + b)(a - b)$

847. Разложите на множители многочлен а³ + 2а + а² + 2.

Для разложения многочлена $a^3 + 2a + a^2 + 2$ на множители воспользуемся методом группировки.

1. Сначала изменим порядок членов многочлена для удобства группировки:
$a^3 + a^2 + 2a + 2$

2. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
$(a^3 + a^2) + (2a + 2)$

3. Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы $(a^3 + a^2)$ выносим $a^2$. Из второй группы $(2a + 2)$ выносим $2$.
$a^2(a + 1) + 2(a + 1)$

4. Теперь у нас есть два слагаемых, $a^2(a + 1)$ и $2(a + 1)$, у которых есть общий множитель $(a + 1)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:
$(a + 1)(a^2 + 2)$

Многочлен $a^2 + 2$ не имеет действительных корней (так как $a^2$ не может быть равно $-2$ для действительного числа $a$) и, следовательно, не может быть разложен на множители с действительными коэффициентами. Таким образом, полученное выражение является окончательным результатом разложения.

Ответ: $(a + 1)(a^2 + 2)$

848. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда, причём скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.

Пусть $v$ км/ч — скорость более медленного поезда. Тогда, согласно условию, скорость более быстрого поезда будет $(v + 10)$ км/ч.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения (общая скорость) равна сумме их индивидуальных скоростей:

$v_{сбл} = v + (v + 10) = 2v + 10$ км/ч.

Изначально расстояние между поездами составляло 1020 км. Через 5 часов движения расстояние между ними сократилось до 170 км. Это означает, что за 5 часов они вместе преодолели расстояние, равное разнице между начальным и конечным расстояниями:

$S_{пройденное} = 1020 - 170 = 850$ км.

Суммарное расстояние, пройденное поездами, можно также вычислить, умножив их скорость сближения на время в пути $t = 5$ ч:

$S_{пройденное} = v_{сбл} \times t$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для пройденного расстояния:

$(2v + 10) \times 5 = 850$

Решим это уравнение, чтобы найти $v$. Сначала разделим обе части уравнения на 5:

$2v + 10 = \frac{850}{5}$

$2v + 10 = 170$

Теперь вычтем 10 из обеих частей:

$2v = 170 - 10$

$2v = 160$

И, наконец, разделим на 2:

$v = \frac{160}{2}$

$v = 80$

Таким образом, скорость одного (более медленного) поезда равна 80 км/ч.

Скорость второго (более быстрого) поезда на 10 км/ч больше:

$80 + 10 = 90$ км/ч.

Ответ: скорости поездов равны 80 км/ч и 90 км/ч.