Номер 845, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

845. Упростите выражение:
а) (х + 3)³ − (х − 3)³;
б) (а − 2b)³ + 6аb(а − 2b).

а) Чтобы упростить выражение $(x + 3)^3 - (x - 3)^3$, воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Раскроем каждую скобку в исходном выражении:
Первая скобка: $(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$
Вторая скобка: $(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное и выполним вычитание:
$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27)$
Раскрываем скобки, меняя знаки у второго многочлена на противоположные, и приводим подобные слагаемые:
$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27 = (x^3 - x^3) + (9x^2 + 9x^2) + (27x - 27x) + (27 + 27) = 18x^2 + 54$
Ответ: $18x^2 + 54$

б) Для упрощения выражения $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b)$ можно использовать преобразованную формулу куба разности.
Стандартная формула куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Сгруппируем члены и вынесем общий множитель $-3xy$ за скобки:
$(x-y)^3 = (x^3 - y^3) - (3x^2y - 3xy^2) = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
Из этого равенства выразим разность кубов $x^3 - y^3$:
$x^3 - y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x - y)$
Теперь сравним эту формулу с нашим выражением $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b)$.
Если принять $x = a$ и $y = 2b$, то наше выражение примет вид:
$(x - y)^3 + 3xy(x - y)$
Проверим, совпадает ли член $6ab$ с $3xy$:
$3xy = 3 \cdot a \cdot (2b) = 6ab$
Так как выражения полностью совпадают, мы можем применить формулу разности кубов $x^3 - y^3$.
Подставим $x = a$ и $y = 2b$ обратно:
$x^3 - y^3 = a^3 - (2b)^3 = a^3 - 8b^3$
Ответ: $a^3 - 8b^3$