Номер 839, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

839. Представьте выражение в виде многочлена:

а) $a(a + 9b)^2$

Для преобразования выражения в многочлен, в первую очередь применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ к выражению в скобках.

1. Раскроем квадрат суммы:

$(a + 9b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (9b) + (9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$.

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на $a$:

$a(a^2 + 18ab + 81b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 18ab + a \cdot 81b^2 = a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.

Ответ: $a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.

б) $6x(x^2 + 5x)^2$

Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата суммы.

1. Раскроем квадрат суммы:

$(x^2 + 5x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2$.

2. Умножим полученный многочлен на $6x$:

$6x(x^4 + 10x^3 + 25x^2) = 6x \cdot x^4 + 6x \cdot 10x^3 + 6x \cdot 25x^2 = 6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.

Ответ: $6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.

в) $(a + 2)(a - 1)^2$

Сначала раскроем скобку с квадратом, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

1. Раскроем квадрат разности:

$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.

2. Теперь умножим многочлен $(a + 2)$ на полученный многочлен $(a^2 - 2a + 1)$:

$(a + 2)(a^2 - 2a + 1) = a \cdot (a^2 - 2a + 1) + 2 \cdot (a^2 - 2a + 1) = (a^3 - 2a^2 + a) + (2a^2 - 4a + 2)$.

3. Приведем подобные слагаемые:

$a^3 - 2a^2 + a + 2a^2 - 4a + 2 = a^3 + (-2a^2 + 2a^2) + (a - 4a) + 2 = a^3 - 3a + 2$.

Ответ: $a^3 - 3a + 2$.

г) $(x - 4)(x + 2)^2$

Сначала раскроем скобку с квадратом, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Раскроем квадрат суммы:

$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.

2. Теперь умножим многочлен $(x - 4)$ на полученный многочлен $(x^2 + 4x + 4)$:

$(x - 4)(x^2 + 4x + 4) = x \cdot (x^2 + 4x + 4) - 4 \cdot (x^2 + 4x + 4) = (x^3 + 4x^2 + 4x) - (4x^2 + 16x + 16)$.

3. Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 4x^2 + 4x - 4x^2 - 16x - 16 = x^3 + (4x^2 - 4x^2) + (4x - 16x) - 16 = x^3 - 12x - 16$.

Ответ: $x^3 - 12x - 16$.