Номер 840, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 840, страница 170.

Условие.

840. Докажите тождество:
а) (а + b)² + (а − b)² = 2(а² + b²);
б) (а + b)² − (а − b)² = 4аb;
в) а² + b² = (а + b)² − 2аb;
г) (а + b)² − 2b(а + b) = а² − b².

Решение 1.

а) (а + b)² + (а − b)² =
= a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b² =
= 2a² + 2b² = 2(а² + b²);

б) (а + b)² − (а − b)² =
= a² + 2ab + b² - (a² - 2ab + b²) =
= a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b² =
= 4аb;

в) а² + b² = (а + b)² − 2аb
(a + b)² - 2ab =
= a² + 2ab + b² - 2ab = a² + b²;

г) (а + b)² − 2b(а + b) =
= a² + 2ab + b² - 2ab - 2b² =
= а² − b².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим раскрытые выражения в левую часть равенства:

$(a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (b^2 + b^2) + (2ab - 2ab) = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2)$

В результате преобразований левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.

б) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем левую часть тождества, используя те же формулы.

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 4ab$

Левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.

в) Для доказательства этого тождества преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a+b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 + (2ab - 2ab) = a^2 + b^2$

Правая часть тождества стала равна левой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Для этого вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки.

$(a+b)^2 - 2b(a+b) = (a+b) \cdot ((a+b) - 2b)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a+b)(a+b-2b) = (a+b)(a-b)$

Далее воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.