Номер 836, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

836. Найдите корень уравнения:

а) $(x-5)^2 - x^2 = 3$
Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - x^2 = 3$
$x^2 - 10x + 25 - x^2 = 3$
Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:
$-10x + 25 = 3$
Перенесем число 25 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$-10x = 3 - 25$
$-10x = -22$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -10:
$x = \frac{-22}{-10}$
$x = 2.2$
Ответ: $2.2$.

б) $(2y+1)^2 - 4y^2 = 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$((2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2) - 4y^2 = 5$
$4y^2 + 4y + 1 - 4y^2 = 5$
Приведем подобные слагаемые. Члены $4y^2$ и $-4y^2$ взаимно уничтожаются:
$4y + 1 = 5$
Перенесем число 1 в правую часть уравнения со знаком минус:
$4y = 5 - 1$
$4y = 4$
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $y$:
$y = \frac{4}{4}$
$y = 1$
Ответ: $1$.

в) $9x^2 - 1 - (3x-2)^2 = 0$
Раскроем скобки с выражением в квадрате по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$9x^2 - 1 - ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2) = 0$
$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$
Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус. Все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:
$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Члены $9x^2$ и $-9x^2$ сокращаются:
$12x - 1 - 4 = 0$
$12x - 5 = 0$
Перенесем -5 в правую часть уравнения:
$12x = 5$
Найдем $x$, разделив обе части на 12:
$x = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) $x + (5x+2)^2 = 25(1+x^2)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу квадрата суммы, а в правой — распределительный закон умножения:
$x + ((5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2$
$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:
$25x^2 + (x + 20x) + 4 = 25 + 25x^2$
$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую. Заметим, что $25x^2$ есть в обеих частях уравнения, поэтому эти члены можно сократить:
$21x + 4 = 25$
$21x = 25 - 4$
$21x = 21$
Разделим обе части на 21:
$x = \frac{21}{21}$
$x = 1$
Ответ: $1$.