Номер 829, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 829, страница 169.

Условие.

829. Представьте выражение в виде многочлена:

a) (a² − 2b)²; б)(х³ + 3y⁴)²; в) (7a⁶ + 12a)²; г) (15х − х³)².

Решение 1.

a) (a² − 2b)² =
= (a²)² - 2 ⋅ a² ⋅ 2b + (2b)² =
= a⁴ - 4a²b + 4b²;

б)(х³ + 3y⁴)² =
= (х³)² + 2x³ ⋅ 3y⁴ + (3y⁴)² =
= x⁶ + 6x³y⁴ + 9y⁸;

в) (7a⁶ + 12a)² = (7a⁶)² +
+ 2 ⋅ 7a⁶ ⋅ 12a + (12a)² =
= 49a¹² + 168a⁷ + 144a²;

г) (15х − х³)² = (15x)² -
- 2 ⋅ 15x ⋅ х³ + (х³)² =
= 225x² - 30x⁴ + x⁶.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Представим выражение $(a^2 - 2b)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата разности, где $a$ заменяется на $a^2$, а $b$ на $2b$.

$(a^2 - 2b)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2b) + (2b)^2$

Выполним преобразования:

$(a^2)^2 = a^4$

$2 \cdot a^2 \cdot 2b = 4a^2b$

$(2b)^2 = 4b^2$

Собираем многочлен:

$a^4 - 4a^2b + 4b^2$

Ответ: $a^4 - 4a^2b + 4b^2$

б) Представим выражение $(x^3 + 3y^4)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата суммы, где $a$ заменяется на $x^3$, а $b$ на $3y^4$.

$(x^3 + 3y^4)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot (3y^4) + (3y^4)^2$

Выполним преобразования:

$(x^3)^2 = x^6$

$2 \cdot x^3 \cdot 3y^4 = 6x^3y^4$

$(3y^4)^2 = 9y^8$

Собираем многочлен:

$x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$

Ответ: $x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$

в) Представим выражение $(7a^6 + 12a)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата суммы, где $a$ заменяется на $7a^6$, а $b$ на $12a$.

$(7a^6 + 12a)^2 = (7a^6)^2 + 2 \cdot (7a^6) \cdot (12a) + (12a)^2$

Выполним преобразования:

$(7a^6)^2 = 49a^{12}$

$2 \cdot 7a^6 \cdot 12a = 168a^7$

$(12a)^2 = 144a^2$

Собираем многочлен:

$49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$

Ответ: $49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$

г) Представим выражение $(15x - x^3)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата разности, где $a$ заменяется на $15x$, а $b$ на $x^3$.

$(15x - x^3)^2 = (15x)^2 - 2 \cdot (15x) \cdot (x^3) + (x^3)^2$

Выполним преобразования:

$(15x)^2 = 225x^2$

$2 \cdot 15x \cdot x^3 = 30x^4$

$(x^3)^2 = x^6$

Собираем многочлен: $225x^2 - 30x^4 + x^6$.

Для приведения к стандартному виду, расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $x$:

$x^6 - 30x^4 + 225x^2$

Ответ: $x^6 - 30x^4 + 225x^2$