Номер 823, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 823, страница 169.

823. Докажите тождество:
а) (a − b)² = (b − a)²;
б) (−a − b)² = (a + b)².

а) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$, преобразуем правую часть равенства. Для этого в выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобки множитель $-1$.

$(b - a) = -(a - b)$

Теперь подставим полученное выражение в правую часть исходного тождества:

$(b - a)^2 = (-(a - b))^2$

Квадрат любого числа равен квадрату числа, ему противоположного. Это можно показать, используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$:

$(-(a - b))^2 = (-1)^2 \cdot (a - b)^2 = 1 \cdot (a - b)^2 = (a - b)^2$

Мы получили, что правая часть тождества равна левой части: $(a - b)^2 = (a - b)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$, преобразуем левую часть равенства. В выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобки множитель $-1$.

$(-a - b) = -(a + b)$

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$(-a - b)^2 = (-(a + b))^2$

Используя то же свойство, что и в пункте а), а именно что квадрат числа равен квадрату противоположного ему числа, получаем:

$(-(a + b))^2 = (-1)^2 \cdot (a + b)^2 = 1 \cdot (a + b)^2 = (a + b)^2$

Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $(a + b)^2 = (a + b)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.