Номер 817, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 817, страница 168.

817. С помощью рисунка 86 разъясните геометрический смысл формулы (а − b)² = а² − 2аb + b² для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

Геометрический смысл формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ можно разъяснить с помощью представленного рисунка, рассматривая площади фигур.

1. На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{большой} = a \cdot a = a^2$.

2. Внутри большого квадрата выделен серый квадрат. Длина стороны этого серого квадрата равна $(a-b)$, так как она получается вычитанием отрезка $b$ из стороны большого квадрата $a$. Площадь серого квадрата равна $S_{серый} = (a-b) \cdot (a-b) = (a-b)^2$. Это выражение является левой частью доказываемой формулы.

3. Теперь выразим площадь серого квадрата через другие площади, чтобы прийти к правой части формулы. Площадь серого квадрата можно получить, если из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площадь "Г-образной" фигуры, состоящей из двух светло-голубых прямоугольников и одного темно-голубого квадрата.

Рассмотрим другой способ вычисления. Возьмем площадь большого квадрата $a^2$.

• Вычтем из нее площадь вертикального прямоугольника, состоящего из правого светло-голубого прямоугольника и темно-голубого квадрата. Размеры этого вертикального прямоугольника – $a$ в высоту и $b$ в ширину. Его площадь равна $ab$.
• Затем вычтем площадь горизонтального прямоугольника, состоящего из верхнего светло-голубого прямоугольника и темно-голубого квадрата. Размеры этого горизонтального прямоугольника – $a$ в ширину и $b$ в высоту. Его площадь также равна $ab$.

Когда мы вычитаем эти два прямоугольника из большого квадрата, мы фактически вычитаем $a^2 - ab - ab = a^2 - 2ab$. Однако, при этом площадь темно-голубого квадрата (со стороной $b$ и площадью $b^2$), который является областью пересечения этих двух прямоугольников, была вычтена дважды.

Чтобы скорректировать этот расчет и получить точную площадь серого квадрата, необходимо один раз вернуть (прибавить) площадь темно-голубого квадрата, которую мы вычли лишний раз.

Таким образом, площадь серого квадрата равна: $S_{серый} = S_{большой} - (\text{площадь верт. прямоугольника}) - (\text{площадь гор. прямоугольника}) + (\text{площадь их пересечения})$

Подставляя значения площадей, получаем: $(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Это и есть геометрическая интерпретация формулы квадрата разности.

Ответ: Площадь серого квадрата со стороной $(a-b)$, равная $(a-b)^2$, геометрически представляет собой площадь большого квадрата со стороной $a$ ($a^2$), из которой вычли площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ ($2ab$), при этом площадь их общего пересечения, квадрат со стороной $b$ ($b^2$), была вычтена дважды, поэтому ее необходимо прибавить один раз. Это доказывает тождество $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.