Номер 814, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 814, страница 164.

814. Докажите, что:

а)

По условию дано, что $ab + c^2 = 0$. Необходимо доказать, что $(a+c)(b+c) + (a-c)(b-c) = 0$.

Для доказательства упростим левую часть равенства. Раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое: $(a+c)(b+c) = ab + ac + bc + c^2$.

Второе слагаемое: $(a-c)(b-c) = ab - ac - bc + c^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(a+c)(b+c) + (a-c)(b-c) = (ab + ac + bc + c^2) + (ab - ac - bc + c^2)$.

Приведем подобные члены:

$ab + ab + ac - ac + bc - bc + c^2 + c^2 = 2ab + 2c^2$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(ab + c^2)$.

Согласно условию, $ab + c^2 = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, левая часть равенства равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

По условию дано, что $a + b = 9$. Необходимо доказать, что $(a+1)(b+1) - (a-1)(b-1) = 18$.

Для доказательства упростим левую часть равенства. Раскроем скобки:

Уменьшаемое: $(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1$.

Вычитаемое: $(a-1)(b-1) = ab - a - b + 1$.

Теперь выполним вычитание:

$(a+1)(b+1) - (a-1)(b-1) = (ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1)$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$ab + a + b + 1 - ab + a + b - 1$.

Приведем подобные члены:

$(ab - ab) + (a + a) + (b + b) + (1 - 1) = 2a + 2b$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a+b)$.

Согласно условию, $a + b = 9$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2 \cdot 9 = 18$.

Таким образом, левая часть равенства равна 18, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.