Номер 807, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

807. Разложите на множители многочлен:

а) $a^3 - 2a^2 + 2a - 4$

Для разложения данного многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 - 2a^2) + (2a - 4)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $a^2$, во второй — 2:

$a^2(a - 2) + 2(a - 2)$

Теперь мы видим общий множитель $(a - 2)$, который также можно вынести за скобки:

$(a - 2)(a^2 + 2)$

Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2)$

б) $x^3 - 12 + 6x^2 - 2x$

Сначала перегруппируем слагаемые в порядке убывания степеней переменной $x$:

$x^3 + 6x^2 - 2x - 12$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 6x^2) + (-2x - 12)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $x^2$, во второй — -2:

$x^2(x + 6) - 2(x + 6)$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$ за скобки:

$(x + 6)(x^2 - 2)$

Ответ: $(x + 6)(x^2 - 2)$

в) $c^4 - 2c^2 + c^3 - 2c$

Сначала вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$c(c^3 + c^2 - 2c - 2)$

Теперь разложим на множители многочлен в скобках, используя метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$c[(c^3 + c^2) + (-2c - 2)]$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $c^2$, во второй — -2:

$c[c^2(c + 1) - 2(c + 1)]$

Вынесем общий множитель $(c + 1)$ за скобки:

$c[(c + 1)(c^2 - 2)]$

Окончательно получаем:

$c(c + 1)(c^2 - 2)$

Ответ: $c(c + 1)(c^2 - 2)$

г) $-y^6 - y^5 + y^4 + y^3$

Вынесем за скобки общий множитель $-y^3$. Это удобно, так как старший член в скобках станет положительным:

$-y^3(y^3 + y^2 - y - 1)$

Разложим многочлен в скобках на множители методом группировки:

$-y^3[(y^3 + y^2) - (y + 1)]$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $y^2$:

$-y^3[y^2(y + 1) - 1(y + 1)]$

Вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:

$-y^3[(y + 1)(y^2 - 1)]$

Выражение $(y^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(y - 1)(y + 1)$:

$-y^3(y + 1)(y - 1)(y + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим:

$-y^3(y - 1)(y + 1)^2$

Ответ: $-y^3(y - 1)(y + 1)^2$

д) $a^2b - b^2c + a^2c - bc^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы было удобнее выносить общие множители. Сгруппируем слагаемые, содержащие $a^2$, и слагаемые, не содержащие $a^2$:

$(a^2b + a^2c) - (b^2c + bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $a^2$, во второй — $bc$:

$a^2(b + c) - bc(b + c)$

Теперь вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки:

$(b + c)(a^2 - bc)$

Ответ: $(b + c)(a^2 - bc)$

е) $2x^3 + xy^2 - 2x^2y - y^3$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(2x^3 - 2x^2y) + (xy^2 - y^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $2x^2$, во второй — $y^2$:

$2x^2(x - y) + y^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(2x^2 + y^2)$

Ответ: $(x - y)(2x^2 + y^2)$

ж) $16ab^2 - 10c^3 + 32ac^2 - 5b^2c$

Перегруппируем слагаемые. Сгруппируем слагаемые, содержащие $b^2$, и слагаемые, содержащие степень $c$:

$(16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $b^2$, во второй — $2c^2$:

$b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c)$

Мы получили общий множитель $(16a - 5c)$, который выносим за скобки:

$(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

Ответ: $(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

з) $6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(6a^3 - 21a^2b) + (2ab^2 - 7b^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $3a^2$, во второй — $b^2$:

$3a^2(2a - 7b) + b^2(2a - 7b)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a - 7b)$ за скобки:

$(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$

Ответ: $(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$