Номер 807, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 10 - номер 807, страница 163.

Условие.

807. Разложите на множители многочлен:

Решение 1.

а) a³ - 2a² + 2a - 4 =
= (a³ - 2a²) + (2a - 4) =
= a²(a - 2) + 2(a - 2) =
= (a - 2) (a² + 2);

б) x³ - 12 + 6x² - 2x =
= (x³ + 6x²) - (12 + 2x) =
= x²(x + 6) - 2(6 + x) =
= (6 + x) (x² - 2);

в) c⁴ - 2c² + c³ - 2c =
= (c⁴ - 2c²) + (c³ - 2c) =
= c²(c² - 2) + c(c² - 2) =
= (c² - 2) (c² + c) =
= c(c + 1) (c² - 2);

г) -y⁶ - y⁵ + y⁴ + y³ =
= (-y⁶ - y⁵) + (y⁴ + y³) =
= -y⁵(y + 1) + y³(y + 1) =
= (-y⁵ + y³) (y + 1) =
= -y³(y² - 1) (y + 1) =
= y³(1 - y²) (y + 1);

д) a²b - b²c + a²c - bc² =
= (a²b - b²c) + (a²c - bc²) =
= b(a² - bc) + c(a² - bc) =
= (b + c) (a² - bc);

е) 2x³ + xy² - 2x²y - y³ =
= (2x³ - 2x²y) + (xy² - y³) =
= 2x²(x - y) + y²(x - y) =
= (x - y) (2x² + y²);

ж) 16ab² - 10c³ + 32ac² - 5b²c =
= (16ab² + 32ac²) - (10c³ + 5b²c) =
= 16a(b² + 2c²) - 5c(2c² + b²) =
= (2c² + b²) (16a - 5c);

з) 6a³ - 21a²b + 2ab² - 7b³ =
= (6a³ + 2ab²) - (21a²b + 7b³) =
= 2a(3a² + b²) - 7b(3a² + b²) =
= (3a² + b²) (2a - 7b).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $a^3 - 2a^2 + 2a - 4$

Для разложения данного многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 - 2a^2) + (2a - 4)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $a^2$, во второй — 2:

$a^2(a - 2) + 2(a - 2)$

Теперь мы видим общий множитель $(a - 2)$, который также можно вынести за скобки:

$(a - 2)(a^2 + 2)$

Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2)$

б) $x^3 - 12 + 6x^2 - 2x$

Сначала перегруппируем слагаемые в порядке убывания степеней переменной $x$:

$x^3 + 6x^2 - 2x - 12$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 6x^2) + (-2x - 12)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $x^2$, во второй — -2:

$x^2(x + 6) - 2(x + 6)$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$ за скобки:

$(x + 6)(x^2 - 2)$

Ответ: $(x + 6)(x^2 - 2)$

в) $c^4 - 2c^2 + c^3 - 2c$

Сначала вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$c(c^3 + c^2 - 2c - 2)$

Теперь разложим на множители многочлен в скобках, используя метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$c[(c^3 + c^2) + (-2c - 2)]$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $c^2$, во второй — -2:

$c[c^2(c + 1) - 2(c + 1)]$

Вынесем общий множитель $(c + 1)$ за скобки:

$c[(c + 1)(c^2 - 2)]$

Окончательно получаем:

$c(c + 1)(c^2 - 2)$

Ответ: $c(c + 1)(c^2 - 2)$

г) $-y^6 - y^5 + y^4 + y^3$

Вынесем за скобки общий множитель $-y^3$. Это удобно, так как старший член в скобках станет положительным:

$-y^3(y^3 + y^2 - y - 1)$

Разложим многочлен в скобках на множители методом группировки:

$-y^3[(y^3 + y^2) - (y + 1)]$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $y^2$:

$-y^3[y^2(y + 1) - 1(y + 1)]$

Вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:

$-y^3[(y + 1)(y^2 - 1)]$

Выражение $(y^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(y - 1)(y + 1)$:

$-y^3(y + 1)(y - 1)(y + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим:

$-y^3(y - 1)(y + 1)^2$

Ответ: $-y^3(y - 1)(y + 1)^2$

д) $a^2b - b^2c + a^2c - bc^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы было удобнее выносить общие множители. Сгруппируем слагаемые, содержащие $a^2$, и слагаемые, не содержащие $a^2$:

$(a^2b + a^2c) - (b^2c + bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $a^2$, во второй — $bc$:

$a^2(b + c) - bc(b + c)$

Теперь вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки:

$(b + c)(a^2 - bc)$

Ответ: $(b + c)(a^2 - bc)$

е) $2x^3 + xy^2 - 2x^2y - y^3$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(2x^3 - 2x^2y) + (xy^2 - y^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $2x^2$, во второй — $y^2$:

$2x^2(x - y) + y^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(2x^2 + y^2)$

Ответ: $(x - y)(2x^2 + y^2)$

ж) $16ab^2 - 10c^3 + 32ac^2 - 5b^2c$

Перегруппируем слагаемые. Сгруппируем слагаемые, содержащие $b^2$, и слагаемые, содержащие степень $c$:

$(16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $b^2$, во второй — $2c^2$:

$b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c)$

Мы получили общий множитель $(16a - 5c)$, который выносим за скобки:

$(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

Ответ: $(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

з) $6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(6a^3 - 21a^2b) + (2ab^2 - 7b^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $3a^2$, во второй — $b^2$:

$3a^2(2a - 7b) + b^2(2a - 7b)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a - 7b)$ за скобки:

$(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$

Ответ: $(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$