Номер 804, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

804. Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на 30 м². Определите площадь первоначального прямоугольника.

Пусть $l$ – первоначальная длина прямоугольника, а $w$ – его первоначальная ширина в метрах.

Согласно условию, периметр прямоугольника равен 36 м. Формула периметра: $P = 2(l + w)$. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 36$
Разделив обе части на 2, получаем:
$l + w = 18$

Первоначальная площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = l \cdot w$.
После увеличения сторон новая длина становится $(l + 1)$ м, а новая ширина – $(w + 2)$ м. Новая площадь $S'$ будет равна $S' = (l + 1)(w + 2)$.
Известно, что новая площадь на 30 м? больше первоначальной: $S' = S + 30$. Подставим выражения для площадей и составим второе уравнение:
$(l + 1)(w + 2) = l \cdot w + 30$

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки в левой части:
$l \cdot w + 2l + w + 2 = l \cdot w + 30$
Вычтем из обеих частей $l \cdot w$:
$2l + w + 2 = 30$
$2l + w = 30 - 2$
$2l + w = 28$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} l + w = 18 \\ 2l + w = 28 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(2l + w) - (l + w) = 28 - 18$
$2l + w - l - w = 10$
$l = 10$

Теперь, зная длину $l = 10$ м, найдем ширину $w$ из первого уравнения системы:
$10 + w = 18$
$w = 18 - 10$
$w = 8$

Итак, первоначальные размеры прямоугольника: длина 10 м и ширина 8 м.

Цель задачи — определить площадь первоначального прямоугольника:
$S = l \cdot w = 10 \text{ м} \cdot 8 \text{ м} = 80 \text{ м}^2$

Ответ: 80 м?.