Номер 810, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 10 - номер 810, страница 164.

Условие.

810. Докажите, что:
а) а(х + 6) + х(х − 3а) = 9 при х = 2а − 3;
б) х(х − 3а) + а(а + х) + 4 = 13 при х = а + 3.

Решение 1.

а) а(х + 6) + х(х − 3а) = 9

при х = 2а − 3;
а(2a - 3 + 6) + (2a - 3) ×
× (2a - 3 − 3а) = a(2a + 3) +
+ (2a - 3) (-a - 3) = 2a² + 3a -
- (2a - 3) (a + 3) = 2a² + 3a -
- (2a² + 6a - 3a - 9) = 2a² + 3a -
- 2a² + 3a + 9 = 9;

б) х(х − 3а) + а(а + х) + 4 = 13

при х = а + 3;
(a + 3) (a + 3 - 3a) + a(a + a + 3) +
4 = (a + 3) (3 - 2a) + a(2a + 3) +
+ 4 = 3a - 2a² + 9 - 6a + 2a² +
+ 3a + 4 = 13.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Требуется доказать, что $a(x + 6) + x(x - 3a) = 9$ при $x = 2a - 3$.

Для этого сначала преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$a(x + 6) + x(x - 3a) = ax + 6a + x^2 - 3ax = x^2 - 2ax + 6a$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 2a - 3$:

$(2a - 3)^2 - 2a(2a - 3) + 6a$

Раскроем скобки. Для выражения $(2a - 3)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$( (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 ) - (2a \cdot 2a - 2a \cdot 3) + 6a$

$= (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 6a) + 6a$

$= 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 6a + 6a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + (-12a + 6a + 6a) + 9 = 0 + 0 + 9 = 9$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 9, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать, что $x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13$ при $x = a + 3$.

Сначала преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки:

$x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = x^2 - 3ax + a^2 + ax + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2ax + a^2 + 4$

Заметим, что первые три члена $x^2 - 2ax + a^2$ представляют собой полный квадрат разности по формуле $m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$.

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$(x - a)^2 + 4$

Теперь воспользуемся заданным условием $x = a + 3$. Выразим из него разность $x - a$:

$x - a = 3$.

Подставим это значение в преобразованное выражение:

$(3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 13, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.