Номер 813, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 813, страница 164.

813. Докажите, что если b + с = 10, то

(10а + b)(10а + с) = 100а(а + 1) + bс.

Воспользовавшись этой формулой, вычислите:

а) 23 · 27; 6)42 · 48; в) 59 · 51; г) 8 + 86.

Для доказательства тождества $(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc$ при условии, что $b + c = 10$, раскроем скобки в левой части выражения:
$(10a + b)(10a + c) = 10a \cdot 10a + 10a \cdot c + b \cdot 10a + b \cdot c = 100a^2 + 10ac + 10ab + bc$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $10a$:
$100a^2 + (10ac + 10ab) + bc = 100a^2 + 10a(c + b) + bc$
Теперь воспользуемся данным условием $b + c = 10$. Подставим $10$ вместо $(c + b)$:
$100a^2 + 10a(10) + bc = 100a^2 + 100a + bc$
Вынесем общий множитель $100a$ за скобки:
$100a(a + 1) + bc$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Теперь воспользуемся этой формулой для вычислений.

а) $23 \cdot 27$
Здесь множители можно представить в виде $(10a + b)$ и $(10a + c)$.
Первый десяток у обоих чисел одинаковый, значит $a = 2$.
Единицы равны $b = 3$ и $c = 7$. Проверяем условие: $b + c = 3 + 7 = 10$.
Применяем формулу $100a(a + 1) + bc$:
$100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 3 \cdot 7 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 21 = 600 + 21 = 621$.
Ответ: 621

б) $42 \cdot 48$
Здесь $a = 4$, $b = 2$, $c = 8$. Проверяем условие: $b + c = 2 + 8 = 10$.
Применяем формулу:
$100 \cdot 4 \cdot (4 + 1) + 2 \cdot 8 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016$.
Ответ: 2016

в) $59 \cdot 51$
Здесь $a = 5$, $b = 9$, $c = 1$. Проверяем условие: $b + c = 9 + 1 = 10$.
Применяем формулу:
$100 \cdot 5 \cdot (5 + 1) + 9 \cdot 1 = 100 \cdot 5 \cdot 6 + 9 = 3000 + 9 = 3009$.
Ответ: 3009

г) $84 \cdot 86$
Здесь $a = 8$, $b = 4$, $c = 6$. Проверяем условие: $b + c = 4 + 6 = 10$.
Применяем формулу:
$100 \cdot 8 \cdot (8 + 1) + 4 \cdot 6 = 100 \cdot 8 \cdot 9 + 24 = 7200 + 24 = 7224$.
Ответ: 7224