Номер 805, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

805. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см². Найдите площадь первоначального прямоугольника.

Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $l$ см, а первоначальная ширина — $w$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l+w)$. По условию задачи, периметр равен 30 см. Составим первое уравнение:
$2(l+w) = 30$
$l+w = 15$

Площадь первоначального прямоугольника равна $S_1 = l \times w$.

Если длину уменьшить на 3 см, то новая длина будет равна $(l-3)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, то новая ширина будет равна $(w+5)$ см. Новая площадь прямоугольника $S_2$ будет равна:
$S_2 = (l-3)(w+5)$

По условию, новая площадь на 8 см? меньше первоначальной, то есть $S_2 = S_1 - 8$. Запишем это в виде уравнения, подставив выражения для площадей:
$(l-3)(w+5) = l \times w - 8$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$lw + 5l - 3w - 15 = lw - 8$
Вычтем из обеих частей $lw$:
$5l - 3w - 15 = -8$
Перенесем -15 в правую часть:
$5l - 3w = 15 - 8$
$5l - 3w = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
1) $l + w = 15$
2) $5l - 3w = 7$

Из первого уравнения выразим $l$ через $w$:
$l = 15 - w$
Подставим это выражение для $l$ во второе уравнение:
$5(15-w) - 3w = 7$
$75 - 5w - 3w = 7$
$75 - 8w = 7$
$8w = 75 - 7$
$8w = 68$
$w = \frac{68}{8} = 8,5$ см.

Теперь найдем первоначальную длину $l$:
$l = 15 - w = 15 - 8,5 = 6,5$ см.

Итак, первоначальные размеры прямоугольника: длина 6,5 см и ширина 8,5 см.

Найдем площадь первоначального прямоугольника:
$S_1 = l \times w = 6,5 \times 8,5 = 55,25$ см?.

Ответ: 55,25 см?.