Номер 841, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 841, страница 170.

841. Докажите тождество Диофанта (III в.):
(а² + b²)(c² + d²) = (ас + bd)² + (ad − bc)².

Для доказательства тождества Диофанта необходимо показать, что его левая и правая части равны. Для этого мы преобразуем обе части, раскрыв скобки, и сравним полученные выражения.

1. Преобразование левой части тождества.
Раскроем скобки в произведении двух сумм:
$ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2 + b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.

2. Преобразование правой части тождества.
Раскроем каждую скобку в правой части, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Первый член: $ (ac + bd)^2 = (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 $.
Второй член: $ (ad - bc)^2 = (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 $.
Теперь сложим полученные выражения:
$ (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) $.
Приведем подобные слагаемые. Члены $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:
$ a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 $.
Сгруппируем слагаемые для удобства сравнения с левой частью:
$ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.

3. Сравнение результатов.
Выражение, полученное из левой части: $ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.
Выражение, полученное из правой части: $ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.
Так как в результате преобразований левая и правая части тождества оказались равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ доказано, поскольку обе его части равны выражению $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.