Номер 851, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 851, страница 172.

Условие.

851. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

а) 81а² − 18ab + b²;
б) 1 + у² − 2у;

в) 8ab + b² + 16а²;
г) 100х² + у² + 20xy;

д) b² + 4а² − 4ab;
е) 28xy + 49х² + 4у².

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для преобразования трёхчленов в квадрат двучлена будем использовать формулы сокращённого умножения: формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В каждом задании мы определим два слагаемых, которые являются полными квадратами, а затем проверим, соответствует ли третье слагаемое удвоенному произведению их корней.

а) $81a^2 - 18ab + b^2$

В данном трёхчлене есть два полных квадрата: $81a^2 = (9a)^2$ и $b^2 = (b)^2$. Проверим, является ли третий член ($-18ab$) удвоенным произведением $9a$ и $b$. $2 \cdot (9a) \cdot b = 18ab$. Так как в выражении стоит знак минус, мы используем формулу квадрата разности.
$81a^2 - 18ab + b^2 = (9a)^2 - 2 \cdot (9a) \cdot b + b^2 = (9a - b)^2$.
Ответ: $(9a - b)^2$.

б) $1 + y^2 - 2y$

Переставим слагаемые в стандартном порядке: $y^2 - 2y + 1$. Здесь полные квадраты: $y^2 = (y)^2$ и $1 = 1^2$. Проверим третий член ($-2y$): $2 \cdot y \cdot 1 = 2y$. Знак минус указывает на использование формулы квадрата разности.
$y^2 - 2y + 1 = (y)^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y - 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)^2$.

в) $8ab + b^2 + 16a^2$

Переставим слагаемые: $16a^2 + 8ab + b^2$. Полные квадраты: $16a^2 = (4a)^2$ и $b^2 = (b)^2$. Проверим третий член ($8ab$): $2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$. Знак плюс указывает на использование формулы квадрата суммы.
$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot b + b^2 = (4a + b)^2$.
Ответ: $(4a + b)^2$.

г) $100x^2 + y^2 + 20xy$

Переставим слагаемые: $100x^2 + 20xy + y^2$. Полные квадраты: $100x^2 = (10x)^2$ и $y^2 = (y)^2$. Проверим третий член ($20xy$): $2 \cdot (10x) \cdot y = 20xy$. Знак плюс указывает на использование формулы квадрата суммы.
$100x^2 + 20xy + y^2 = (10x)^2 + 2 \cdot (10x) \cdot y + y^2 = (10x + y)^2$.
Ответ: $(10x + y)^2$.

д) $b^2 + 4a^2 - 4ab$

Переставим слагаемые: $4a^2 - 4ab + b^2$. Полные квадраты: $4a^2 = (2a)^2$ и $b^2 = (b)^2$. Проверим третий член ($-4ab$): $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$. Знак минус указывает на использование формулы квадрата разности.
$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2$.
Ответ: $(2a - b)^2$.

е) $28xy + 49x^2 + 4y^2$

Переставим слагаемые: $49x^2 + 28xy + 4y^2$. Полные квадраты: $49x^2 = (7x)^2$ и $4y^2 = (2y)^2$. Проверим третий член ($28xy$): $2 \cdot (7x) \cdot (2y) = 28xy$. Знак плюс указывает на использование формулы квадрата суммы.
$49x^2 + 28xy + 4y^2 = (7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (7x + 2y)^2$.
Ответ: $(7x + 2y)^2$.