Номер 857, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 857, страница 173.

Условие.

857. Верно ли, что при любых значениях х:
а) х² + 10 > 0;
б) х² + 20х + 100 > 0?

Решение 1.

а) х² + 10 > 0 – верно;

б) х² + 20х + 100 =
= (x + 10)² ≥ 0 – неверно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Рассмотрим неравенство $x^2 + 10 > 0$.

Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Минимальное значение, которое может принимать $x^2$, равно 0 (это происходит при $x=0$).

Если к неотрицательному числу ($x^2$) прибавить положительное число (10), то сумма всегда будет положительной. Более строго:

Поскольку $x^2 \ge 0$, мы можем прибавить 10 к обеим частям этого неравенства:

$x^2 + 10 \ge 0 + 10$

$x^2 + 10 \ge 10$

Так как $10 > 0$, то и $x^2 + 10$ всегда будет больше 0 при любом значении $x$.

Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б)

Рассмотрим неравенство $x^2 + 20x + 100 > 0$.

Левая часть этого неравенства является трехчленом, который можно представить в виде полного квадрата, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, если взять $a=x$ и $b=10$, то мы получим:

$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$(x+10)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x+10)^2 \ge 0$.

Однако в задании стоит знак строгого неравенства ($>$). Выражение $(x+10)^2$ будет равно нулю, если его основание равно нулю.

$x + 10 = 0$

$x = -10$

При $x = -10$ левая часть неравенства обращается в ноль: $(-10 + 10)^2 = 0^2 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Поскольку мы нашли значение $x$ (а именно $x=-10$), при котором неравенство не выполняется, то утверждение, что оно верно при любых значениях $x$, является неверным.

Ответ: нет, неверно.