Номер 861, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

861. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:

Для преобразования выражений в квадрат двучлена используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$

Данное выражение является трехчленом. Попробуем применить формулу квадрата разности. Для этого представим первый и третий члены в виде квадратов, а второй — в виде удвоенного произведения.

Первый член: $x^4 = (x^2)^2$.

Третий член: $16y^4 = (4y^2)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований первого и третьего членов, то есть $2 \cdot x^2 \cdot 4y^2$.

$2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 = 8x^2y^2$.

Так как второй член в исходном выражении $-8x^2y^2$ (со знаком минус), мы можем использовать формулу квадрата разности:

$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 + (4y^2)^2 = (x^2 - 4y^2)^2$.

Ответ: $(x^2 - 4y^2)^2$.

б) $\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2$

Применим формулу квадрата суммы. Представим первый и третий члены в виде квадратов.

Первый член: $\frac{1}{16}x^4 = (\frac{1}{4}x^2)^2$.

Третий член: $16a^2 = (4a)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований первого и третьего членов, то есть $2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a$.

$2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a = 2x^2a$.

Второй член совпадает. Так как все знаки — плюсы, используем формулу квадрата суммы:

$\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2 = (\frac{1}{4}x^2)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a + (4a)^2 = (\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

в) $\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4$

Применим формулу квадрата суммы. Представим первый и третий члены в виде квадратов.

Первый член: $\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$.

Третий член: $4b^4 = (2b^2)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований, то есть $2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2$.

$2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2 = 2ab^2$.

Второй член совпадает. Так как все знаки — плюсы, используем формулу квадрата суммы:

$\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = (\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

г) $a^2x^2 - 2abx + b^2$

Применим формулу квадрата разности. Представим первый и третий члены в виде квадратов.

Первый член: $a^2x^2 = (ax)^2$.

Третий член: $b^2 = (b)^2$.

Проверим второй член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований, то есть $2 \cdot ax \cdot b$.

$2 \cdot ax \cdot b = 2abx$.

Так как второй член в исходном выражении $-2abx$ (со знаком минус), мы можем использовать формулу квадрата разности:

$a^2x^2 - 2abx + b^2 = (ax)^2 - 2 \cdot ax \cdot b + (b)^2 = (ax - b)^2$.

Ответ: $(ax - b)^2$.