Номер 862, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 862, страница 173.

Условие.

862. Разложите на множители трёхчлен:

а) 4а⁶ − 4a³b² + b⁴; б) b⁸ − а²b⁴ + 14а⁴.

Решение 1.

а) 4a⁶ - 4a³b² + b⁴ =
= (2a³)² - 2 ⋅ 2a³ ⋅ b² + (b²)² =
= (2a³ - b²)²;

$\mathbf{б}\mathbf{)} {\mathrm{b}}^8-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^4+\frac{1}{4}{\mathrm{a}}^4=$

$={\left({\mathrm{b}}^4\right)}^2-2·{\mathrm{b}}^4·\frac{1}{2}{\mathrm{a}}^2+{\left(\frac{1}{2}{\mathrm{a}}^2\right)}^2=$

$={\left({\mathrm{b}}^4-\frac{1}{2}{\mathrm{a}}^2\right)}^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4$, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Заметим, что первый и последний члены можно представить в виде квадратов:

$4a^6 = (2a^3)^2$

$b^4 = (b^2)^2$

Теперь проверим, является ли средний член удвоенным произведением выражений $2a^3$ и $b^2$.

$2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) = 4a^3b^2$.

Так как средний член в исходном выражении равен $-4a^3b^2$, трёхчлен является полным квадратом разности выражений $2a^3$ и $b^2$.

Следовательно, $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4 = (2a^3)^2 - 2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) + (b^2)^2 = (2a^3 - b^2)^2$.

Ответ: $(2a^3 - b^2)^2$.

б) Чтобы разложить на множители трёхчлен $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$, также применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый и последний члены в виде квадратов:

$b^8 = (b^4)^2$

$\frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2$

Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению выражений $b^4$ и $\frac{1}{2}a^2$.

$2 \cdot (b^4) \cdot (\frac{1}{2}a^2) = a^2b^4$.

Средний член исходного выражения равен $-a^2b^4$, что соответствует полному квадрату разности выражений $b^4$ и $\frac{1}{2}a^2$.

Таким образом, $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4)^2 - 2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a^2)^2 = (b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.

Ответ: $(b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.