Страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

881. Найдите наибольшее значение выражения:

а) Чтобы найти наибольшее значение выражения $(7 - 6x)(7 + 6x)$, сначала упростим его, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 7$ и $b = 6x$.

$(7 - 6x)(7 + 6x) = 7^2 - (6x)^2 = 49 - 36x^2$.

Выражение $49 - 36x^2$ принимает наибольшее значение, когда вычитаемое $36x^2$ принимает наименьшее значение. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, наименьшее значение $36x^2$ равно 0. Это достигается при $x = 0$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно $49 - 36 \cdot 0^2 = 49 - 0 = 49$.

Ответ: 49.

б) Рассмотрим выражение $(4 - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{3}b + 4)$. Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести его к стандартному виду формулы разности квадратов: $(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b)$.

Применим формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 4$ и $b = \frac{1}{3}b$.

$(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b) = 4^2 - (\frac{1}{3}b)^2 = 16 - \frac{1}{9}b^2$.

Наибольшее значение выражения $16 - \frac{1}{9}b^2$ достигается, когда вычитаемое $\frac{1}{9}b^2$ минимально. Так как $b^2 \ge 0$, наименьшее значение $\frac{1}{9}b^2$ равно 0. Это происходит при $b = 0$.

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $16 - \frac{1}{9} \cdot 0^2 = 16 - 0 = 16$.

Ответ: 16.

в) Упростим выражение $(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y)$ по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = \frac{1}{3}$ и $b = 2y$.

$(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y) = (\frac{1}{3})^2 - (2y)^2 = \frac{1}{9} - 4y^2$.

Чтобы найти наибольшее значение выражения $\frac{1}{9} - 4y^2$, нужно минимизировать вычитаемое $4y^2$. Поскольку $y^2 \ge 0$, наименьшее значение $4y^2$ равно 0 и достигается при $y = 0$.

Таким образом, наибольшее значение выражения составляет $\frac{1}{9} - 4 \cdot 0^2 = \frac{1}{9} - 0 = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

г) Рассмотрим выражение $(4a + 1\frac{1}{7})(1\frac{1}{7} - 4a)$. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.

Выражение примет вид $(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a)$, если поменять местами слагаемые в первой скобке.

Используем формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{8}{7}$ и $b = 4a$.

$(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a) = (\frac{8}{7})^2 - (4a)^2 = \frac{64}{49} - 16a^2$.

Наибольшее значение выражения $\frac{64}{49} - 16a^2$ достигается при наименьшем значении вычитаемого $16a^2$. Так как $a^2 \ge 0$, наименьшее значение $16a^2$ равно 0. Это происходит при $a = 0$.

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $\frac{64}{49} - 16 \cdot 0^2 = \frac{64}{49} - 0 = \frac{64}{49}$. Это значение можно также записать в виде смешанного числа: $1\frac{15}{49}$.

Ответ: $\frac{64}{49}$.

882. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:

а) Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение выражения $(5a - 0,2)(0,2 + 5a)$, сначала упростим его. Заметим, что это произведение разности и суммы двух выражений, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Переставим слагаемые во второй скобке: $(5a - 0,2)(5a + 0,2)$.
Теперь применим формулу: $(5a)^2 - (0,2)^2 = 25a^2 - 0,04$.
Проанализируем полученное выражение $25a^2 - 0,04$.
Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, $a^2 \ge 0$. Следовательно, и $25a^2 \ge 0$.
Выражение $25a^2 - 0,04$ принимает наименьшее значение, когда слагаемое $25a^2$ имеет наименьшее возможное значение, то есть 0. Это происходит при $a=0$.
Таким образом, наименьшее значение выражения равно $25 \cdot 0^2 - 0,04 = -0,04$.
Наибольшего значения не существует, поскольку $a^2$ может быть сколь угодно большим, а значит, и всё выражение может неограниченно возрастать.
Ответ: наименьшее значение равно $-0,04$.

б) Упростим выражение $(12 - 7y)(7y + 12)$. Здесь также применима формула разности квадратов. Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы это стало очевиднее: $(12 - 7y)(12 + 7y)$.
Применяем формулу: $12^2 - (7y)^2 = 144 - 49y^2$.
Проанализируем полученное выражение $144 - 49y^2$.
Поскольку $y^2 \ge 0$, то и $49y^2 \ge 0$. Это означает, что из 144 вычитается неотрицательное число.
Выражение $144 - 49y^2$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $49y^2$ является наименьшим, то есть 0. Это условие выполняется при $y=0$.
Таким образом, наибольшее значение выражения равно $144 - 49 \cdot 0^2 = 144$.
Наименьшего значения не существует, так как $49y^2$ может быть сколь угодно большим, и, следовательно, значение выражения может быть сколь угодно малым (большим по модулю отрицательным числом).
Ответ: наибольшее значение равно $144$.

в) Упростим выражение $(13a - 0,3)(0,3 + 13a)$ по формуле разности квадратов. Перепишем выражение в удобном виде: $(13a - 0,3)(13a + 0,3)$.
Применим формулу: $(13a)^2 - (0,3)^2 = 169a^2 - 0,09$.
Проанализируем выражение $169a^2 - 0,09$.
Так как $a^2 \ge 0$, то $169a^2 \ge 0$.
Выражение достигает своего наименьшего значения, когда $169a^2$ равно своему наименьшему значению, то есть 0. Это происходит при $a=0$.
Наименьшее значение выражения равно $169 \cdot 0^2 - 0,09 = -0,09$.
Наибольшего значения не существует, так как $169a^2$ может неограниченно возрастать.
Ответ: наименьшее значение равно $-0,09$.

г) Упростим выражение $(10 - 9m)(9m + 10)$ по формуле разности квадратов. Перепишем выражение так: $(10 - 9m)(10 + 9m)$.
Применим формулу: $10^2 - (9m)^2 = 100 - 81m^2$.
Проанализируем выражение $100 - 81m^2$.
Так как $m^2 \ge 0$, то $81m^2 \ge 0$.
Выражение $100 - 81m^2$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $81m^2$ имеет наименьшее значение, то есть 0. Это происходит при $m=0$.
Наибольшее значение выражения равно $100 - 81 \cdot 0^2 = 100$.
Наименьшего значения не существует, так как $81m^2$ может неограниченно возрастать, делая значение всего выражения неограниченно малым.
Ответ: наибольшее значение равно $100$.

883. Представьте в виде многочлена:

а) $2(x - 3)(x + 3)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x$, а $b = 3$.

Сначала перемножим скобки: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное: $2(x^2 - 9)$.

Раскроем скобки, умножив 2 на каждый член многочлена в скобках: $2 \cdot x^2 - 2 \cdot 9 = 2x^2 - 18$.

Ответ: $2x^2 - 18$.

б) $y(y + 4)(y - 4)$

Здесь также применяется формула разности квадратов для выражения в скобках $(y + 4)(y - 4)$, где $a = y$, а $b = 4$.

Перемножаем скобки: $(y + 4)(y - 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$.

Подставляем результат в исходное выражение: $y(y^2 - 16)$.

Умножаем $y$ на каждый член в скобках: $y \cdot y^2 - y \cdot 16 = y^3 - 16y$.

Ответ: $y^3 - 16y$.

в) $5x(x + 2)(x - 2)$

Используем формулу разности квадратов для $(x + 2)(x - 2)$, где $a = x$, а $b = 2$.

Вычисляем произведение скобок: $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Подставляем в исходное выражение: $5x(x^2 - 4)$.

Раскрываем скобки: $5x \cdot x^2 - 5x \cdot 4 = 5x^3 - 20x$.

Ответ: $5x^3 - 20x$.

г) $-3a(a + 5)(5 - a)$

Заметим, что $(a + 5)(5 - a)$ можно переписать как $(5 + a)(5 - a)$, что соответствует формуле разности квадратов при $a = 5$ и $b = a$.

Применяем формулу: $(5 + a)(5 - a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2$.

Теперь выражение выглядит так: $-3a(25 - a^2)$.

Умножаем $-3a$ на каждый член в скобках: $-3a \cdot 25 - (-3a) \cdot a^2 = -75a + 3a^3$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $3a^3 - 75a$.

Ответ: $3a^3 - 75a$.

д) $(0,5x - 7)(7 + 0,5x)(-4x)$

Сначала перемножим первые две скобки. Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(0,5x - 7)(0,5x + 7)$. Это формула разности квадратов, где $a = 0,5x$, а $b = 7$.

$(0,5x - 7)(0,5x + 7) = (0,5x)^2 - 7^2 = 0,25x^2 - 49$.

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель $(-4x)$: $(0,25x^2 - 49)(-4x)$.

Раскроем скобки: $0,25x^2 \cdot (-4x) - 49 \cdot (-4x) = -x^3 + 196x$.

Ответ: $-x^3 + 196x$.

е) $-5y(-3y - 4)(3y - 4)$

Вынесем знак минус из первой скобки: $(-3y - 4) = -(3y + 4)$.

Выражение примет вид: $-5y \cdot (-(3y + 4)) \cdot (3y - 4)$.

Произведение двух минусов дает плюс: $5y(3y + 4)(3y - 4)$.

Теперь к выражению $(3y + 4)(3y - 4)$ применим формулу разности квадратов, где $a = 3y$, а $b = 4$.

$(3y + 4)(3y - 4) = (3y)^2 - 4^2 = 9y^2 - 16$.

Подставляем в выражение: $5y(9y^2 - 16)$.

Раскрываем скобки: $5y \cdot 9y^2 - 5y \cdot 16 = 45y^3 - 80y$.

Ответ: $45y^3 - 80y$.

884. Представьте выражение в виде многочлена:

а) Для преобразования выражения $(b+a)(b-a)^2$ в многочлен можно использовать два метода.
Метод 1: Раскрытие квадрата разности.
Сначала раскроем скобку $(b-a)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(b-a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на $(b+a)$:
$(b+a)(b^2 - 2ab + a^2) = b(b^2 - 2ab + a^2) + a(b^2 - 2ab + a^2) = b^3 - 2ab^2 + a^2b + ab^2 - 2a^2b + a^3$.
Приведем подобные члены:
$b^3 + (-2ab^2 + ab^2) + (a^2b - 2a^2b) + a^3 = b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.
Метод 2: Использование формулы разности квадратов.
Представим $(b-a)^2$ как $(b-a)(b-a)$.
$(b+a)(b-a)(b-a)$.
Сгруппируем первые два множителя и применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$((b+a)(b-a))(b-a) = (b^2-a^2)(b-a)$.
Теперь раскроем скобки:
$(b^2-a^2)(b-a) = b^2(b-a) - a^2(b-a) = b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.
Оба метода дают одинаковый результат.
Ответ: $b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.

б) Для преобразования выражения $(x+y)^2(y-x)$ в многочлен, заметим, что $(y-x) = -(x-y)$.
Вынесем $-1$ за скобки:
$(x+y)^2(y-x) = (x+y)^2(-(x-y)) = -(x+y)^2(x-y)$.
Представим $(x+y)^2$ как $(x+y)(x+y)$:
$-(x+y)(x+y)(x-y)$.
Сгруппируем последние два множителя и применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$-(x+y)((x+y)(x-y)) = -(x+y)(x^2-y^2)$.
Теперь раскроем скобки:
$-(x(x^2-y^2) + y(x^2-y^2)) = -(x^3 - xy^2 + x^2y - y^3)$.
Изменим знак каждого члена в скобках на противоположный:
$-x^3 + xy^2 - x^2y + y^3$.
Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $x$):
$-x^3 - x^2y + xy^2 + y^3$.
Ответ: $-x^3 - x^2y + xy^2 + y^3$.

в) Для преобразования выражения $(a-4)(a+4)^2$ в многочлен, воспользуемся методом, аналогичным пункту а).
Представим $(a+4)^2$ как $(a+4)(a+4)$:
$(a-4)(a+4)(a+4)$.
Сгруппируем первые два множителя и применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$((a-4)(a+4))(a+4) = (a^2 - 4^2)(a+4) = (a^2-16)(a+4)$.
Теперь раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на вторую:
$a^2(a+4) - 16(a+4) = a^3 + 4a^2 - 16a - 64$.
Ответ: $a^3 + 4a^2 - 16a - 64$.

г) Для преобразования выражения $(3p+1)^2(1-3p)$ в многочлен, поступим аналогично пункту б).
Заметим, что $(1-3p) = -(3p-1)$. Вынесем $-1$ за скобки:
$(3p+1)^2(1-3p) = (3p+1)^2(-(3p-1)) = -(3p+1)^2(3p-1)$.
Представим $(3p+1)^2$ как $(3p+1)(3p+1)$:
$-(3p+1)(3p+1)(3p-1)$.
Сгруппируем последние два множителя и применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$-(3p+1)((3p+1)(3p-1)) = -(3p+1)((3p)^2 - 1^2) = -(3p+1)(9p^2-1)$.
Раскроем скобки:
$-(3p(9p^2-1) + 1(9p^2-1)) = -(27p^3 - 3p + 9p^2 - 1)$.
Изменим знак каждого члена в скобках на противоположный и запишем в стандартном виде:
$-27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$.
Ответ: $-27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$.

885. Выполните умножение:

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Сначала умножим первые две скобки: $ (b-2)(b+2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4 $.

Теперь исходное выражение выглядит так: $ (b^2 - 4)(b^2 + 4) $.

Снова применяем формулу разности квадратов, где $ x = b^2 $ и $ y = 4 $: $ (b^2 - 4)(b^2 + 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16 $.

Ответ: $ b^4 - 16 $.

б)

Как и в предыдущем примере, последовательно применяем формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Умножим первые два множителя: $ (3-y)(3+y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2 $.

Подставим результат в исходное выражение: $ (9 - y^2)(9 + y^2) $.

Еще раз используем формулу разности квадратов, где $ x = 9 $ и $ y = y^2 $: $ (9 - y^2)(9 + y^2) = 9^2 - (y^2)^2 = 81 - y^4 $.

Ответ: $ 81 - y^4 $.

в)

Сначала сгруппируем множители, чтобы было удобнее применить формулу разности квадратов: $ (a^2+1)((a+1)(a-1)) $.

Применяем формулу к последним двум скобкам: $ (a+1)(a-1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1 $.

Выражение принимает вид: $ (a^2+1)(a^2-1) $.

Снова применяем формулу разности квадратов: $ (a^2+1)(a^2-1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1 $.

Ответ: $ a^4 - 1 $.

г)

Сгруппируем последние два множителя и применим формулу разности квадратов: $ (c^4+1)((c^2+1)(c^2-1)) $.

Вычисляем произведение в скобках: $ (c^2+1)(c^2-1) = (c^2)^2 - 1^2 = c^4 - 1 $.

Теперь выражение выглядит так: $ (c^4+1)(c^4-1) $.

Еще раз используем формулу разности квадратов: $ (c^4+1)(c^4-1) = (c^4)^2 - 1^2 = c^8 - 1 $.

Ответ: $ c^8 - 1 $.

д)

Воспользуемся свойством степеней $ a^n b^n = (ab)^n $.

$ (x-3)^2(x+3)^2 = ((x-3)(x+3))^2 $.

Выражение в скобках является разностью квадратов: $ (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 $.

Теперь необходимо возвести результат в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81 $.

Ответ: $ x^4 - 18x^2 + 81 $.

е)

Используем свойство степеней $ a^n b^n = (ab)^n $ для преобразования выражения.

$ (y+4)^2(y-4)^2 = ((y+4)(y-4))^2 $.

В скобках применяем формулу разности квадратов: $ (y+4)(y-4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16 $.

Теперь возводим полученное выражение в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (y^2 - 16)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 16 + 16^2 = y^4 - 32y^2 + 256 $.

Ответ: $ y^4 - 32y^2 + 256 $.

ж)

Заметим, что $ (5+a)^2 = (a+5)^2 $. Перепишем выражение: $ (a-5)^2(a+5)^2 $.

Применим свойство степеней $ a^n b^n = (ab)^n $: $ (a-5)^2(a+5)^2 = ((a-5)(a+5))^2 $.

Выражение в скобках является разностью квадратов: $ (a-5)(a+5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25 $.

Теперь возведем результат в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:

$ (a^2 - 25)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 - 50a^2 + 625 $.

Ответ: $ a^4 - 50a^2 + 625 $.

з)

Заметим, что $ (4-c)^2 = (-(c-4))^2 = (-1)^2(c-4)^2 = (c-4)^2 $. Таким образом, выражение можно переписать как $ (c+4)^2(c-4)^2 $.

Используем свойство степеней $ a^n b^n = (ab)^n $: $ (c+4)^2(c-4)^2 = ((c+4)(c-4))^2 $.

В скобках применяем формулу разности квадратов: $ (c+4)(c-4) = c^2 - 4^2 = c^2 - 16 $.

Возводим полученное выражение в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (c^2 - 16)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 16 + 16^2 = c^4 - 32c^2 + 256 $.

Ответ: $ c^4 - 32c^2 + 256 $.

886. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(0,8x + 15)(0,8x - 15) + 0,36x^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
В данном случае $a = 0,8x$ и $b = 15$.
$(0,8x + 15)(0,8x - 15) = (0,8x)^2 - 15^2 = 0,64x^2 - 225$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$0,64x^2 - 225 + 0,36x^2$.
Сложим подобные слагаемые (члены с $x^2$):
$(0,64 + 0,36)x^2 - 225 = 1x^2 - 225 = x^2 - 225$.
Ответ: $x^2 - 225$.

б) В выражении $5b^2 + (3 - 2b)(3 + 2b)$ также применим формулу разности квадратов к произведению в скобках.
Здесь $a = 3$ и $b = 2b$.
$(3 - 2b)(3 + 2b) = 3^2 - (2b)^2 = 9 - 4b^2$.
Подставим результат в исходное выражение:
$5b^2 + (9 - 4b^2) = 5b^2 + 9 - 4b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(5-4)b^2 + 9 = b^2 + 9$.
Ответ: $b^2 + 9$.

в) В выражении $2x^2 - (x + 1)(x - 1)$ произведение $(x + 1)(x - 1)$ представляет собой формулу разности квадратов.
Здесь $a = x$ и $b = 1$.
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Подставим в исходное выражение. Важно учесть знак минус перед скобками, который меняет знаки внутри скобок на противоположные:
$2x^2 - (x^2 - 1) = 2x^2 - x^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2-1)x^2 + 1 = x^2 + 1$.
Ответ: $x^2 + 1$.

г) Для выражения $(3a - 1)(3a + 1) - 17a^2$ начнем с раскрытия скобок по формуле разности квадратов.
Здесь $a = 3a$ и $b = 1$.
$(3a - 1)(3a + 1) = (3a)^2 - 1^2 = 9a^2 - 1$.
Теперь подставим это в полное выражение:
$9a^2 - 1 - 17a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9 - 17)a^2 - 1 = -8a^2 - 1$.
Ответ: $-8a^2 - 1$.

д) В выражении $100x^2 - (5x - 4)(4 + 5x)$ переставим слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее применить формулу: $(5x - 4)(5x + 4)$.
Это формула разности квадратов, где $a = 5x$ и $b = 4$.
$(5x - 4)(5x + 4) = (5x)^2 - 4^2 = 25x^2 - 16$.
Подставим в исходное выражение и раскроем скобки:
$100x^2 - (25x^2 - 16) = 100x^2 - 25x^2 + 16$.
Приведем подобные слагаемые:
$(100 - 25)x^2 + 16 = 75x^2 + 16$.
Ответ: $75x^2 + 16$.

е) В выражении $22c^2 + (-3c - 7)(3c - 7)$ преобразуем произведение в скобках. Вынесем $-1$ за скобки в первом множителе:
$(-3c - 7)(3c - 7) = -(3c + 7)(3c - 7)$.
Теперь к выражению $(3c + 7)(3c - 7)$ можно применить формулу разности квадратов, где $a=3c$ и $b=7$:
$-( (3c)^2 - 7^2 ) = -(9c^2 - 49) = -9c^2 + 49$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$22c^2 + (-9c^2 + 49) = 22c^2 - 9c^2 + 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(22-9)c^2 + 49 = 13c^2 + 49$.
Ответ: $13c^2 + 49$.

887. Упростите:

а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$

Для упрощения этого выражения мы последовательно применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Сначала сгруппируем первые два множителя: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. После этого подставим полученный результат обратно в исходное выражение: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. Мы снова видим формулу разности квадратов, где $a = x^2$ и $b = y^2$. Применим ее: $(x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.

Ответ: $x^4 - y^4$.

б) $(2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)$

Сначала перегруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов: $(2a + b)(2a - b)(4a^2 + b^2)$. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям, где $a=2a$ и $b=b$: $(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$. Теперь выражение имеет вид: $(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$. Снова применяем формулу разности квадратов, где $a = 4a^2$ и $b = b^2$: $(4a^2)^2 - (b^2)^2 = 16a^4 - b^4$.

Ответ: $16a^4 - b^4$.

в) $(c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям $(c^3 + b)(c^3 - b)$: $(c^3)^2 - b^2 = c^6 - b^2$. Подставим результат в выражение: $(c^6 - b^2)(c^6 + b^2)$. Это еще одна разность квадратов. Применим формулу еще раз: $(c^6)^2 - (b^2)^2 = c^{12} - b^4$.

Ответ: $c^{12} - b^4$.

г) $(3m - 2)(3m + 2) + 4$

Сначала упростим произведение $(3m - 2)(3m + 2)$ по формуле разности квадратов: $(3m)^2 - 2^2 = 9m^2 - 4$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(9m^2 - 4) + 4$. Сложим константы: $9m^2 - 4 + 4 = 9m^2$.

Ответ: $9m^2$.

д) $25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n)$

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$: $(7 + 5n)(7 - 5n) = 7^2 - (5n)^2 = 49 - 25n^2$. Подставим результат в исходное выражение: $25n^2 - (49 - 25n^2)$. Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные: $25n^2 - 49 + 25n^2$. Приведем подобные слагаемые: $(25n^2 + 25n^2) - 49 = 50n^2 - 49$.

Ответ: $50n^2 - 49$.

е) $6x^2 - (x - 0,5)(x + 0,5)$

Упростим произведение $(x - 0,5)(x + 0,5)$ по формуле разности квадратов: $x^2 - (0,5)^2 = x^2 - 0,25$. Подставим полученное выражение в исходное: $6x^2 - (x^2 - 0,25)$. Раскроем скобки: $6x^2 - x^2 + 0,25$. Приведем подобные слагаемые: $(6x^2 - x^2) + 0,25 = 5x^2 + 0,25$.

Ответ: $5x^2 + 0,25$.

888. Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

Пусть $n$ — произвольное целое число. Тогда квадрат этого числа равен $n^2$.

Предыдущим для $n$ целым числом является $(n-1)$, а последующим — $(n+1)$.

Найдем произведение предыдущего и последующего чисел. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Таким образом, мы видим, что произведение предыдущего и последующего чисел ($n^2-1$) ровно на единицу меньше, чем квадрат исходного числа ($n^2$).

Это доказывает, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

Ответ: Мы доказали, что для любого целого числа $n$ произведение предыдущего и последующего чисел равно $n^2 - 1$. Следовательно, квадрат числа $n$, равный $n^2$, всегда на единицу больше этого произведения.

889. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(x-2)(x+2) - x(x+5)$ применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к первому произведению и распределительное свойство умножения ко второму.
$(x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
$-x(x+5) = -x \cdot x - x \cdot 5 = -x^2 - 5x$.
Теперь объединим результаты:
$x^2 - 4 - x^2 - 5x$.
Приводим подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) - 5x - 4 = -5x - 4$.
Ответ: $-5x - 4$.

б) В выражении $m(m-4) + (3-m)(3+m)$ раскроем первые скобки, а ко вторым применим формулу разности квадратов.
$m(m-4) = m^2 - 4m$.
$(3-m)(3+m) = 3^2 - m^2 = 9 - m^2$.
Сложим полученные выражения:
$m^2 - 4m + 9 - m^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(m^2 - m^2) - 4m + 9 = 9 - 4m$.
Ответ: $9 - 4m$.

в) Упростим выражение $(4x-a)(4x+a) + 2x(x-a)$. Первое произведение — это разность квадратов, второе — раскроем по распределительному свойству.
$(4x-a)(4x+a) = (4x)^2 - a^2 = 16x^2 - a^2$.
$2x(x-a) = 2x^2 - 2ax$.
Объединяем:
$16x^2 - a^2 + 2x^2 - 2ax$.
Приводим подобные слагаемые:
$(16x^2 + 2x^2) - 2ax - a^2 = 18x^2 - 2ax - a^2$.
Ответ: $18x^2 - 2ax - a^2$.

г) В выражении $2a(a+b) - (2a+b)(2a-b)$ раскроем первые скобки и применим формулу разности квадратов ко второму произведению.
$2a(a+b) = 2a^2 + 2ab$.
$(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Выполним вычитание, помня о смене знаков в скобках:
$2a^2 + 2ab - (4a^2 - b^2) = 2a^2 + 2ab - 4a^2 + b^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(2a^2 - 4a^2) + 2ab + b^2 = -2a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: $-2a^2 + 2ab + b^2$.

д) Выражение $(5a-3c)(5a+3c) - (7c-a)(7c+a)$ состоит из двух разностей квадратов.
$(5a-3c)(5a+3c) = (5a)^2 - (3c)^2 = 25a^2 - 9c^2$.
$(7c-a)(7c+a) = (7c)^2 - a^2 = 49c^2 - a^2$.
Вычитаем второе из первого:
$(25a^2 - 9c^2) - (49c^2 - a^2) = 25a^2 - 9c^2 - 49c^2 + a^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(25a^2 + a^2) + (-9c^2 - 49c^2) = 26a^2 - 58c^2$.
Ответ: $26a^2 - 58c^2$.

е) Упростим выражение $(4b+10c)(10c-4b) + (-5c+2b)(5c+2b)$. В каждом слагаемом переставим члены для удобства применения формулы разности квадратов.
Первое слагаемое: $(10c+4b)(10c-4b) = (10c)^2 - (4b)^2 = 100c^2 - 16b^2$.
Второе слагаемое: $(2b-5c)(2b+5c) = (2b)^2 - (5c)^2 = 4b^2 - 25c^2$.
Складываем полученные выражения:
$100c^2 - 16b^2 + 4b^2 - 25c^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(100c^2 - 25c^2) + (-16b^2 + 4b^2) = 75c^2 - 12b^2$.
Ответ: $75c^2 - 12b^2$.

ж) В выражении $(3x-4y)^2 - (3x-4y)(3x+4y)$ раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и применим формулу разности квадратов.
$(3x-4y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.
$(3x-4y)(3x+4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$.
Выполним вычитание:
$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (9x^2 - 16y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 9x^2 + 16y^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) - 24xy + (16y^2 + 16y^2) = -24xy + 32y^2$.
Ответ: $32y^2 - 24xy$.

з) Упростим выражение $(2a+6b)(6b-2a) - (2a+6b)^2$. Первое произведение преобразуем к виду $(6b+2a)(6b-2a)$ и применим формулу разности квадратов. Второе слагаемое раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(6b+2a)(6b-2a) = (6b)^2 - (2a)^2 = 36b^2 - 4a^2$.
$(2a+6b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(6b) + (6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.
Выполним вычитание:
$(36b^2 - 4a^2) - (4a^2 + 24ab + 36b^2) = 36b^2 - 4a^2 - 4a^2 - 24ab - 36b^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(-4a^2 - 4a^2) - 24ab + (36b^2 - 36b^2) = -8a^2 - 24ab$.
Ответ: $-8a^2 - 24ab$.