Номер 886, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 886, страница 177.

Условие.

886. Упростите выражение:

а) (0,8х + 15)(0,8х − 15) + 0,36х²;
б) 5b² + (3 − 2b)(3 + 2b);
в) 2х² − (х + 1)(х − 1);

г) (3а − 1)(3а + 1) − 17а²;
д) 100х² − (5х − 4)(4 + 5х);
е) 22с² + (−3с − 7)(3с − 7).

Решение 1.

а) (0,8х + 15)(0,8х − 15) + 0,36х² =
= (0,8x)² - 15² + 0,36x² =
= 0,64x² - 225 + 0,36x² =
= x² - 225;

б) 5b² + (3 − 2b)(3 + 2b) =
= 5b² + 9 - 4b² = b² + 9;

в) 2х² − (х + 1)(х − 1) =
= 2x² - (x² - 1) = 2x² - x² + 1 =
= x² + 1;

г) (3а − 1)(3а + 1) − 17а² =
= 9a² - 1 - 17a² = -8a² - 1;

д) 100х² − (5х − 4)(4 + 5х) =
= 100x² - (5x - 4) (5x + 4) =
= 100x² - (25x² - 16) =
= 100x² - 25x² + 16 = 75x² + 16;

е) 22с² + (−3с − 7)(3с − 7) =
= 22c² - (3c + 7) (3c - 7) =
= 22c² - (9c² - 49) =
= 22c² - 9c² + 49 = 13c² + 49.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(0,8x + 15)(0,8x - 15) + 0,36x^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
В данном случае $a = 0,8x$ и $b = 15$.
$(0,8x + 15)(0,8x - 15) = (0,8x)^2 - 15^2 = 0,64x^2 - 225$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$0,64x^2 - 225 + 0,36x^2$.
Сложим подобные слагаемые (члены с $x^2$):
$(0,64 + 0,36)x^2 - 225 = 1x^2 - 225 = x^2 - 225$.
Ответ: $x^2 - 225$.

б) В выражении $5b^2 + (3 - 2b)(3 + 2b)$ также применим формулу разности квадратов к произведению в скобках.
Здесь $a = 3$ и $b = 2b$.
$(3 - 2b)(3 + 2b) = 3^2 - (2b)^2 = 9 - 4b^2$.
Подставим результат в исходное выражение:
$5b^2 + (9 - 4b^2) = 5b^2 + 9 - 4b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(5-4)b^2 + 9 = b^2 + 9$.
Ответ: $b^2 + 9$.

в) В выражении $2x^2 - (x + 1)(x - 1)$ произведение $(x + 1)(x - 1)$ представляет собой формулу разности квадратов.
Здесь $a = x$ и $b = 1$.
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Подставим в исходное выражение. Важно учесть знак минус перед скобками, который меняет знаки внутри скобок на противоположные:
$2x^2 - (x^2 - 1) = 2x^2 - x^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2-1)x^2 + 1 = x^2 + 1$.
Ответ: $x^2 + 1$.

г) Для выражения $(3a - 1)(3a + 1) - 17a^2$ начнем с раскрытия скобок по формуле разности квадратов.
Здесь $a = 3a$ и $b = 1$.
$(3a - 1)(3a + 1) = (3a)^2 - 1^2 = 9a^2 - 1$.
Теперь подставим это в полное выражение:
$9a^2 - 1 - 17a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9 - 17)a^2 - 1 = -8a^2 - 1$.
Ответ: $-8a^2 - 1$.

д) В выражении $100x^2 - (5x - 4)(4 + 5x)$ переставим слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее применить формулу: $(5x - 4)(5x + 4)$.
Это формула разности квадратов, где $a = 5x$ и $b = 4$.
$(5x - 4)(5x + 4) = (5x)^2 - 4^2 = 25x^2 - 16$.
Подставим в исходное выражение и раскроем скобки:
$100x^2 - (25x^2 - 16) = 100x^2 - 25x^2 + 16$.
Приведем подобные слагаемые:
$(100 - 25)x^2 + 16 = 75x^2 + 16$.
Ответ: $75x^2 + 16$.

е) В выражении $22c^2 + (-3c - 7)(3c - 7)$ преобразуем произведение в скобках. Вынесем $-1$ за скобки в первом множителе:
$(-3c - 7)(3c - 7) = -(3c + 7)(3c - 7)$.
Теперь к выражению $(3c + 7)(3c - 7)$ можно применить формулу разности квадратов, где $a=3c$ и $b=7$:
$-( (3c)^2 - 7^2 ) = -(9c^2 - 49) = -9c^2 + 49$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$22c^2 + (-9c^2 + 49) = 22c^2 - 9c^2 + 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(22-9)c^2 + 49 = 13c^2 + 49$.
Ответ: $13c^2 + 49$.