Номер 881, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 881, страница 177.

Условие.

881. Найдите наибольшее значение выражения:

Решение 1.

а) (7 - 6x) (7 + 6x) =
= 7² - (6x)² = 49 - 36x²; 49

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left(4-\frac{1}{3}\mathrm{b}\right) \left(\frac{1}{3}\mathrm{b}+4\right)=$

$=\left(4-\frac{1}{3}\mathrm{b}\right) \left(4+\frac{1}{3}\mathrm{b}\right)=4^2-{\left(\frac{1}{3}\mathrm{b}\right)}^2=$

$=16-\frac{1}{9}{\mathrm{b}}^2; 16$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left(\frac{1}{3}-2\mathrm{y}\right) \left(\frac{1}{3}+2\mathrm{y}\right)=$

$={\left(\frac{1}{3}\right)}^2-{\left(2\mathrm{y}\right)}^2=\frac{1}{9}-4{\mathrm{y}}^2; \frac{1}{9}$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left(4\mathrm{a}+1\frac{1}{7}\right) \left(1\frac{1}{7}-4\mathrm{a}\right)=$

$=\left(1\frac{1}{7}+4\mathrm{a}\right) \left(1\frac{1}{7}-4\mathrm{a}\right)={\left(1\frac{1}{7}\right)}^2-{\left(4\mathrm{a}\right)}^2=$

$={\left(\frac{8}{7}\right)}^2-16{\mathrm{a}}^2=\frac{64}{49}-16{\mathrm{a}}^2=$

$=1\frac{15}{49}-16{\mathrm{a}}^2; 1\frac{15}{49}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти наибольшее значение выражения $(7 - 6x)(7 + 6x)$, сначала упростим его, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 7$ и $b = 6x$.

$(7 - 6x)(7 + 6x) = 7^2 - (6x)^2 = 49 - 36x^2$.

Выражение $49 - 36x^2$ принимает наибольшее значение, когда вычитаемое $36x^2$ принимает наименьшее значение. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, наименьшее значение $36x^2$ равно 0. Это достигается при $x = 0$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно $49 - 36 \cdot 0^2 = 49 - 0 = 49$.

Ответ: 49.

---

б) Рассмотрим выражение $(4 - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{3}b + 4)$. Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести его к стандартному виду формулы разности квадратов: $(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b)$.

Применим формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 4$ и $b = \frac{1}{3}b$.

$(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b) = 4^2 - (\frac{1}{3}b)^2 = 16 - \frac{1}{9}b^2$.

Наибольшее значение выражения $16 - \frac{1}{9}b^2$ достигается, когда вычитаемое $\frac{1}{9}b^2$ минимально. Так как $b^2 \ge 0$, наименьшее значение $\frac{1}{9}b^2$ равно 0. Это происходит при $b = 0$.

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $16 - \frac{1}{9} \cdot 0^2 = 16 - 0 = 16$.

Ответ: 16.

---

в) Упростим выражение $(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y)$ по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = \frac{1}{3}$ и $b = 2y$.

$(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y) = (\frac{1}{3})^2 - (2y)^2 = \frac{1}{9} - 4y^2$.

Чтобы найти наибольшее значение выражения $\frac{1}{9} - 4y^2$, нужно минимизировать вычитаемое $4y^2$. Поскольку $y^2 \ge 0$, наименьшее значение $4y^2$ равно 0 и достигается при $y = 0$.

Таким образом, наибольшее значение выражения составляет $\frac{1}{9} - 4 \cdot 0^2 = \frac{1}{9} - 0 = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

---

г) Рассмотрим выражение $(4a + 1\frac{1}{7})(1\frac{1}{7} - 4a)$. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.

Выражение примет вид $(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a)$, если поменять местами слагаемые в первой скобке.

Используем формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{8}{7}$ и $b = 4a$.

$(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a) = (\frac{8}{7})^2 - (4a)^2 = \frac{64}{49} - 16a^2$.

Наибольшее значение выражения $\frac{64}{49} - 16a^2$ достигается при наименьшем значении вычитаемого $16a^2$. Так как $a^2 \ge 0$, наименьшее значение $16a^2$ равно 0. Это происходит при $a = 0$.

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $\frac{64}{49} - 16 \cdot 0^2 = \frac{64}{49} - 0 = \frac{64}{49}$. Это значение можно также записать в виде смешанного числа: $1\frac{15}{49}$.

Ответ: $\frac{64}{49}$.