Номер 883, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 883, страница 177.

Условие.

883. Представьте в виде многочлена:

а) 2(х − 3)(х + 3);
б) у(у + 4)(у − 4);
в) 5х(х + 2)(х − 2);

г) −3а(а + 5)(5 − а);
д) (0,5х − 7)(7 + 0,5х)(−4х);
е) −5у(−3у − 4)(3у − 4).

Решение 1.

а) 2(х − 3)(х + 3) =
= 2(x² - 9) = 2x² - 18;

б) у(у + 4)(у − 4) =
= y(y² - 16) = y³ - 16y;

в) 5х(х + 2)(х − 2) =
= 5x(x² - 4) = 5x³ - 20x;

г) −3а(а + 5)(5 − а) =
= -3a(5 + a) (5 - a) =
= -3a(25 - a²) = -75a + 3a³ =
= 3a³ - 75a;

д) (0,5х − 7)(7 + 0,5х)(−4х) =
= (0,5x - 7) (0,5x + 7) (-4x) =
= ((0,5x)² - 7²) (-4x) =
= (0,25x² - 49) (-4x) =
= -x³ + 196x;

е) −5у(−3у − 4)(3у − 4) =
= -5y ⋅ (-1) (3y + 4) (3y - 4) =
= 5y(9y² - 16) = 45y³ - 80y.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2(x - 3)(x + 3)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x$, а $b = 3$.

Сначала перемножим скобки: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное: $2(x^2 - 9)$.

Раскроем скобки, умножив 2 на каждый член многочлена в скобках: $2 \cdot x^2 - 2 \cdot 9 = 2x^2 - 18$.

Ответ: $2x^2 - 18$.

б) $y(y + 4)(y - 4)$

Здесь также применяется формула разности квадратов для выражения в скобках $(y + 4)(y - 4)$, где $a = y$, а $b = 4$.

Перемножаем скобки: $(y + 4)(y - 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$.

Подставляем результат в исходное выражение: $y(y^2 - 16)$.

Умножаем $y$ на каждый член в скобках: $y \cdot y^2 - y \cdot 16 = y^3 - 16y$.

Ответ: $y^3 - 16y$.

в) $5x(x + 2)(x - 2)$

Используем формулу разности квадратов для $(x + 2)(x - 2)$, где $a = x$, а $b = 2$.

Вычисляем произведение скобок: $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Подставляем в исходное выражение: $5x(x^2 - 4)$.

Раскрываем скобки: $5x \cdot x^2 - 5x \cdot 4 = 5x^3 - 20x$.

Ответ: $5x^3 - 20x$.

г) $-3a(a + 5)(5 - a)$

Заметим, что $(a + 5)(5 - a)$ можно переписать как $(5 + a)(5 - a)$, что соответствует формуле разности квадратов при $a = 5$ и $b = a$.

Применяем формулу: $(5 + a)(5 - a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2$.

Теперь выражение выглядит так: $-3a(25 - a^2)$.

Умножаем $-3a$ на каждый член в скобках: $-3a \cdot 25 - (-3a) \cdot a^2 = -75a + 3a^3$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $3a^3 - 75a$.

Ответ: $3a^3 - 75a$.

д) $(0,5x - 7)(7 + 0,5x)(-4x)$

Сначала перемножим первые две скобки. Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(0,5x - 7)(0,5x + 7)$. Это формула разности квадратов, где $a = 0,5x$, а $b = 7$.

$(0,5x - 7)(0,5x + 7) = (0,5x)^2 - 7^2 = 0,25x^2 - 49$.

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель $(-4x)$: $(0,25x^2 - 49)(-4x)$.

Раскроем скобки: $0,25x^2 \cdot (-4x) - 49 \cdot (-4x) = -x^3 + 196x$.

Ответ: $-x^3 + 196x$.

е) $-5y(-3y - 4)(3y - 4)$

Вынесем знак минус из первой скобки: $(-3y - 4) = -(3y + 4)$.

Выражение примет вид: $-5y \cdot (-(3y + 4)) \cdot (3y - 4)$.

Произведение двух минусов дает плюс: $5y(3y + 4)(3y - 4)$.

Теперь к выражению $(3y + 4)(3y - 4)$ применим формулу разности квадратов, где $a = 3y$, а $b = 4$.

$(3y + 4)(3y - 4) = (3y)^2 - 4^2 = 9y^2 - 16$.

Подставляем в выражение: $5y(9y^2 - 16)$.

Раскрываем скобки: $5y \cdot 9y^2 - 5y \cdot 16 = 45y^3 - 80y$.

Ответ: $45y^3 - 80y$.