Номер 887, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 887, страница 177.

Условие.

887. Упростите:

а) (х − y)(х + y)(х² + y²);
б) (2а + b)(4а² + b²)(2а − b);
в) (с³ + b)(с³ − b)(с⁶ + b²);

г) (3m − 2)(3m + 2) + 4;
д) 25n² − (7 + 5n)(7 − 5n);
е) 6х² − (х − 0,5)(х + 0,5).

Решение 1.

а) (х − y)(х + y)(х² + y²) =
= (x² - y²) (x² + y²) = x⁴ - y⁴;

б) (2а + b)(4а² + b²)(2а − b) =
= (4a² - b²) (4a² + b²) =
= 16a⁴ - b⁴;

в) (с³ + b)(с³ − b)(с⁶ + b²) =
= (c⁶ - b²) (c⁶ + b²) =
= c¹² - b⁴;

г) (3m − 2)(3m + 2) + 4 =
= 9m² - 4 + 4 = 9m²;

д) 25n² − (7 + 5n)(7 − 5n) =
= 25n² - (49 - 25n²) =
= 25n² - 49 + 25n² = 50n² - 49;

е) 6х² − (х − 0,5)(х + 0,5) =
= 6x² - (x² - 0,25) =
= 6x² - x² + 0,25 = 5x² + 0,25.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$

Для упрощения этого выражения мы последовательно применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Сначала сгруппируем первые два множителя: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. После этого подставим полученный результат обратно в исходное выражение: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. Мы снова видим формулу разности квадратов, где $a = x^2$ и $b = y^2$. Применим ее: $(x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.

Ответ: $x^4 - y^4$.

б) $(2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)$

Сначала перегруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов: $(2a + b)(2a - b)(4a^2 + b^2)$. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям, где $a=2a$ и $b=b$: $(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$. Теперь выражение имеет вид: $(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$. Снова применяем формулу разности квадратов, где $a = 4a^2$ и $b = b^2$: $(4a^2)^2 - (b^2)^2 = 16a^4 - b^4$.

Ответ: $16a^4 - b^4$.

в) $(c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям $(c^3 + b)(c^3 - b)$: $(c^3)^2 - b^2 = c^6 - b^2$. Подставим результат в выражение: $(c^6 - b^2)(c^6 + b^2)$. Это еще одна разность квадратов. Применим формулу еще раз: $(c^6)^2 - (b^2)^2 = c^{12} - b^4$.

Ответ: $c^{12} - b^4$.

г) $(3m - 2)(3m + 2) + 4$

Сначала упростим произведение $(3m - 2)(3m + 2)$ по формуле разности квадратов: $(3m)^2 - 2^2 = 9m^2 - 4$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(9m^2 - 4) + 4$. Сложим константы: $9m^2 - 4 + 4 = 9m^2$.

Ответ: $9m^2$.

д) $25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n)$

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$: $(7 + 5n)(7 - 5n) = 7^2 - (5n)^2 = 49 - 25n^2$. Подставим результат в исходное выражение: $25n^2 - (49 - 25n^2)$. Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные: $25n^2 - 49 + 25n^2$. Приведем подобные слагаемые: $(25n^2 + 25n^2) - 49 = 50n^2 - 49$.

Ответ: $50n^2 - 49$.

е) $6x^2 - (x - 0,5)(x + 0,5)$

Упростим произведение $(x - 0,5)(x + 0,5)$ по формуле разности квадратов: $x^2 - (0,5)^2 = x^2 - 0,25$. Подставим полученное выражение в исходное: $6x^2 - (x^2 - 0,25)$. Раскроем скобки: $6x^2 - x^2 + 0,25$. Приведем подобные слагаемые: $(6x^2 - x^2) + 0,25 = 5x^2 + 0,25$.

Ответ: $5x^2 + 0,25$.