Номер 884, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 884, страница 177.

Условие.

884. Представьте выражение в виде многочлена:

а) (b + а)(b − а)²;
б) (х + у)²(у − х);

в) (а − 4)(а + 4)²;
г) (3р + 1)²(1 − 3р).

Решение 1.

а) (b + а)(b − а)² =
= (b + a) (b - a) (b - a) =
= (b² - a²) (b - a) =
= b³ - ab² - a²b + a³;

б) (х + у)²(у − х) =
= (y + x) (y + x) (y - x) =
= (y + x) (y² - x²) =
= y³ - yx² + xy² - x³;

в) (а − 4)(а + 4)² =
= (a - 4) (a + 4) (a + 4) =
= (a² - 16) (a + 4) =
= a³ + 4a² - 16a - 64;

г) (3р + 1)²(1 − 3р) =
= (1 + 3p) (1 + 3p) (1 - 3p) =
= (1 + 3p) (1 - 9p)² =
= 1 - 9p² + 3p - 27p³.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для преобразования выражения $(b+a)(b-a)^2$ в многочлен можно использовать два метода.
Метод 1: Раскрытие квадрата разности.
Сначала раскроем скобку $(b-a)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(b-a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на $(b+a)$:
$(b+a)(b^2 - 2ab + a^2) = b(b^2 - 2ab + a^2) + a(b^2 - 2ab + a^2) = b^3 - 2ab^2 + a^2b + ab^2 - 2a^2b + a^3$.
Приведем подобные члены:
$b^3 + (-2ab^2 + ab^2) + (a^2b - 2a^2b) + a^3 = b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.
Метод 2: Использование формулы разности квадратов.
Представим $(b-a)^2$ как $(b-a)(b-a)$.
$(b+a)(b-a)(b-a)$.
Сгруппируем первые два множителя и применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$((b+a)(b-a))(b-a) = (b^2-a^2)(b-a)$.
Теперь раскроем скобки:
$(b^2-a^2)(b-a) = b^2(b-a) - a^2(b-a) = b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.
Оба метода дают одинаковый результат.
Ответ: $b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.

б) Для преобразования выражения $(x+y)^2(y-x)$ в многочлен, заметим, что $(y-x) = -(x-y)$.
Вынесем $-1$ за скобки:
$(x+y)^2(y-x) = (x+y)^2(-(x-y)) = -(x+y)^2(x-y)$.
Представим $(x+y)^2$ как $(x+y)(x+y)$:
$-(x+y)(x+y)(x-y)$.
Сгруппируем последние два множителя и применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$-(x+y)((x+y)(x-y)) = -(x+y)(x^2-y^2)$.
Теперь раскроем скобки:
$-(x(x^2-y^2) + y(x^2-y^2)) = -(x^3 - xy^2 + x^2y - y^3)$.
Изменим знак каждого члена в скобках на противоположный:
$-x^3 + xy^2 - x^2y + y^3$.
Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $x$):
$-x^3 - x^2y + xy^2 + y^3$.
Ответ: $-x^3 - x^2y + xy^2 + y^3$.

в) Для преобразования выражения $(a-4)(a+4)^2$ в многочлен, воспользуемся методом, аналогичным пункту а).
Представим $(a+4)^2$ как $(a+4)(a+4)$:
$(a-4)(a+4)(a+4)$.
Сгруппируем первые два множителя и применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$((a-4)(a+4))(a+4) = (a^2 - 4^2)(a+4) = (a^2-16)(a+4)$.
Теперь раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на вторую:
$a^2(a+4) - 16(a+4) = a^3 + 4a^2 - 16a - 64$.
Ответ: $a^3 + 4a^2 - 16a - 64$.

г) Для преобразования выражения $(3p+1)^2(1-3p)$ в многочлен, поступим аналогично пункту б).
Заметим, что $(1-3p) = -(3p-1)$. Вынесем $-1$ за скобки:
$(3p+1)^2(1-3p) = (3p+1)^2(-(3p-1)) = -(3p+1)^2(3p-1)$.
Представим $(3p+1)^2$ как $(3p+1)(3p+1)$:
$-(3p+1)(3p+1)(3p-1)$.
Сгруппируем последние два множителя и применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$-(3p+1)((3p+1)(3p-1)) = -(3p+1)((3p)^2 - 1^2) = -(3p+1)(9p^2-1)$.
Раскроем скобки:
$-(3p(9p^2-1) + 1(9p^2-1)) = -(27p^3 - 3p + 9p^2 - 1)$.
Изменим знак каждого члена в скобках на противоположный и запишем в стандартном виде:
$-27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$.
Ответ: $-27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$.