Номер 889, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 889, страница 177.

Условие.

889. Упростите выражение:

Решение 1.

а) (x - 2) (x + 2) - x(x + 5) =
= x² - 4 - x² - 5x = -4 - 5x;

б) m(m - 4) + (3 - m) (3 + m) =
= m² - 4m + 9 - m² = 9 - 4m;

в) (4x - a) (4x + a) + 2x(x - a) =
= 16x² - a² + 2x² - 2ax =
= 18x² - a² - ax;

г) 2a(a + b) - (2a + b) (2a - b) =
= 2a² + 2ab - (4a² - b²) =
= 2a² + 2ab - 4a² + b² =
= -2a² + 2ab + b²;

д) (5a - 3c) (5a + 3c) -
- (7c - a) (7c + a) =
= 25a² - 9c² - (49c² - a²) =
= 25a² - 9c² - 49c² + a² =
= 26a² - 58c²;

е) (4b + 10c) (10c - 4b) +
+ (-5c + 2b) (5c + 2b) =
= (10c + 4b) (10c - 4b) +
+ (2b - 5c) (2b + 5c) =
= (10c)² - (4b)² + (2b)² - (5c)² =
= 100c² - 16b² + 4b² - 25c² =
= 75c² - 12b²;

ж) (3x - 4y)² - (3x - 4y) (3x + 4y) =
= 9x² - 24xy + 16y² - (9x² - 16y²) =
= 9x² - 24xy + 16y² - 9x² + 16y² =
= 32y² - 24xy;

з) (2a + 6b) (6b - 2a) - (2a + 6b)² =
= 36b² - 4a² - (4a² + 24ab + 36b²) =
= 36b² - 4a² - 4a² - 24ab - 36b² =
= -8a² - 24ab.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(x-2)(x+2) - x(x+5)$ применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к первому произведению и распределительное свойство умножения ко второму.
$(x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
$-x(x+5) = -x \cdot x - x \cdot 5 = -x^2 - 5x$.
Теперь объединим результаты:
$x^2 - 4 - x^2 - 5x$.
Приводим подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) - 5x - 4 = -5x - 4$.
Ответ: $-5x - 4$.

б) В выражении $m(m-4) + (3-m)(3+m)$ раскроем первые скобки, а ко вторым применим формулу разности квадратов.
$m(m-4) = m^2 - 4m$.
$(3-m)(3+m) = 3^2 - m^2 = 9 - m^2$.
Сложим полученные выражения:
$m^2 - 4m + 9 - m^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(m^2 - m^2) - 4m + 9 = 9 - 4m$.
Ответ: $9 - 4m$.

в) Упростим выражение $(4x-a)(4x+a) + 2x(x-a)$. Первое произведение — это разность квадратов, второе — раскроем по распределительному свойству.
$(4x-a)(4x+a) = (4x)^2 - a^2 = 16x^2 - a^2$.
$2x(x-a) = 2x^2 - 2ax$.
Объединяем:
$16x^2 - a^2 + 2x^2 - 2ax$.
Приводим подобные слагаемые:
$(16x^2 + 2x^2) - 2ax - a^2 = 18x^2 - 2ax - a^2$.
Ответ: $18x^2 - 2ax - a^2$.

г) В выражении $2a(a+b) - (2a+b)(2a-b)$ раскроем первые скобки и применим формулу разности квадратов ко второму произведению.
$2a(a+b) = 2a^2 + 2ab$.
$(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Выполним вычитание, помня о смене знаков в скобках:
$2a^2 + 2ab - (4a^2 - b^2) = 2a^2 + 2ab - 4a^2 + b^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(2a^2 - 4a^2) + 2ab + b^2 = -2a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: $-2a^2 + 2ab + b^2$.

д) Выражение $(5a-3c)(5a+3c) - (7c-a)(7c+a)$ состоит из двух разностей квадратов.
$(5a-3c)(5a+3c) = (5a)^2 - (3c)^2 = 25a^2 - 9c^2$.
$(7c-a)(7c+a) = (7c)^2 - a^2 = 49c^2 - a^2$.
Вычитаем второе из первого:
$(25a^2 - 9c^2) - (49c^2 - a^2) = 25a^2 - 9c^2 - 49c^2 + a^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(25a^2 + a^2) + (-9c^2 - 49c^2) = 26a^2 - 58c^2$.
Ответ: $26a^2 - 58c^2$.

е) Упростим выражение $(4b+10c)(10c-4b) + (-5c+2b)(5c+2b)$. В каждом слагаемом переставим члены для удобства применения формулы разности квадратов.
Первое слагаемое: $(10c+4b)(10c-4b) = (10c)^2 - (4b)^2 = 100c^2 - 16b^2$.
Второе слагаемое: $(2b-5c)(2b+5c) = (2b)^2 - (5c)^2 = 4b^2 - 25c^2$.
Складываем полученные выражения:
$100c^2 - 16b^2 + 4b^2 - 25c^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(100c^2 - 25c^2) + (-16b^2 + 4b^2) = 75c^2 - 12b^2$.
Ответ: $75c^2 - 12b^2$.

ж) В выражении $(3x-4y)^2 - (3x-4y)(3x+4y)$ раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и применим формулу разности квадратов.
$(3x-4y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.
$(3x-4y)(3x+4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$.
Выполним вычитание:
$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (9x^2 - 16y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 9x^2 + 16y^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) - 24xy + (16y^2 + 16y^2) = -24xy + 32y^2$.
Ответ: $32y^2 - 24xy$.

з) Упростим выражение $(2a+6b)(6b-2a) - (2a+6b)^2$. Первое произведение преобразуем к виду $(6b+2a)(6b-2a)$ и применим формулу разности квадратов. Второе слагаемое раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(6b+2a)(6b-2a) = (6b)^2 - (2a)^2 = 36b^2 - 4a^2$.
$(2a+6b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(6b) + (6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.
Выполним вычитание:
$(36b^2 - 4a^2) - (4a^2 + 24ab + 36b^2) = 36b^2 - 4a^2 - 4a^2 - 24ab - 36b^2$.
Приводим подобные слагаемые:
$(-4a^2 - 4a^2) - 24ab + (36b^2 - 36b^2) = -8a^2 - 24ab$.
Ответ: $-8a^2 - 24ab$.