Номер 885, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 885, страница 177.

Условие.

885. Выполните умножение:

а) (b − 2)(b + 2)(b² + 4);
б) (3 − y)(3 + y)(9 + y²);
в) (а² + 1)(а + 1)(а − 1);
г) (с⁴ + 1)(с² + 1)(с² − 1);

д) (х − 3)²(х + 3)²;
е) (y + 4)²(y − 4)²;
ж) (а − 5)²(5 + а)²;
з) (с + 4)²(4 − с)².

Решение 1.

а) (b − 2)(b + 2)(b² + 4) =
= (b² - 4) (b² + 4) = b⁴ - 16;

б) (3 − y)(3 + y)(9 + y²) =
= (9 - y²) (9 + y²) = 81 - y⁴;

в) (а² + 1)(а + 1)(а − 1) =
= (a² + 1) (a² - 1) = a⁴ - 1;

г) (с⁴ + 1)(с² + 1)(с² − 1) =
= (c⁴ + 1) (c⁴ - 1) = c⁸ - 1;

д) (х − 3)²(х + 3)² =
= ((x - 3) (x + 3))² =
= (x² - 9)² = x⁴ - 18x² + 81;

е) (y + 4)²(y − 4)² =
= ((y + 4) (y - 4))² = (y² - 16)² =
= y⁴ - 32y² + 256;

ж) (а − 5)²(5 + а)² =
= ((a - 5) (a + 5))² = (a² - 25)² =
= a⁴ - 50a² + 625;

з) (с + 4)²(4 − с)² =
= ((4 + c) (4 - c))² = (16 - c²)² =
= 256 - 32c² + c⁴.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Сначала умножим первые две скобки: $ (b-2)(b+2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4 $.

Теперь исходное выражение выглядит так: $ (b^2 - 4)(b^2 + 4) $.

Снова применяем формулу разности квадратов, где $ x = b^2 $ и $ y = 4 $: $ (b^2 - 4)(b^2 + 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16 $.

Ответ: $ b^4 - 16 $.

б)

Как и в предыдущем примере, последовательно применяем формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Умножим первые два множителя: $ (3-y)(3+y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2 $.

Подставим результат в исходное выражение: $ (9 - y^2)(9 + y^2) $.

Еще раз используем формулу разности квадратов, где $ x = 9 $ и $ y = y^2 $: $ (9 - y^2)(9 + y^2) = 9^2 - (y^2)^2 = 81 - y^4 $.

Ответ: $ 81 - y^4 $.

в)

Сначала сгруппируем множители, чтобы было удобнее применить формулу разности квадратов: $ (a^2+1)((a+1)(a-1)) $.

Применяем формулу к последним двум скобкам: $ (a+1)(a-1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1 $.

Выражение принимает вид: $ (a^2+1)(a^2-1) $.

Снова применяем формулу разности квадратов: $ (a^2+1)(a^2-1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1 $.

Ответ: $ a^4 - 1 $.

г)

Сгруппируем последние два множителя и применим формулу разности квадратов: $ (c^4+1)((c^2+1)(c^2-1)) $.

Вычисляем произведение в скобках: $ (c^2+1)(c^2-1) = (c^2)^2 - 1^2 = c^4 - 1 $.

Теперь выражение выглядит так: $ (c^4+1)(c^4-1) $.

Еще раз используем формулу разности квадратов: $ (c^4+1)(c^4-1) = (c^4)^2 - 1^2 = c^8 - 1 $.

Ответ: $ c^8 - 1 $.

д)

Воспользуемся свойством степеней $ a^n b^n = (ab)^n $.

$ (x-3)^2(x+3)^2 = ((x-3)(x+3))^2 $.

Выражение в скобках является разностью квадратов: $ (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 $.

Теперь необходимо возвести результат в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81 $.

Ответ: $ x^4 - 18x^2 + 81 $.

е)

Используем свойство степеней $ a^n b^n = (ab)^n $ для преобразования выражения.

$ (y+4)^2(y-4)^2 = ((y+4)(y-4))^2 $.

В скобках применяем формулу разности квадратов: $ (y+4)(y-4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16 $.

Теперь возводим полученное выражение в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (y^2 - 16)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 16 + 16^2 = y^4 - 32y^2 + 256 $.

Ответ: $ y^4 - 32y^2 + 256 $.

ж)

Заметим, что $ (5+a)^2 = (a+5)^2 $. Перепишем выражение: $ (a-5)^2(a+5)^2 $.

Применим свойство степеней $ a^n b^n = (ab)^n $: $ (a-5)^2(a+5)^2 = ((a-5)(a+5))^2 $.

Выражение в скобках является разностью квадратов: $ (a-5)(a+5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25 $.

Теперь возведем результат в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:

$ (a^2 - 25)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 - 50a^2 + 625 $.

Ответ: $ a^4 - 50a^2 + 625 $.

з)

Заметим, что $ (4-c)^2 = (-(c-4))^2 = (-1)^2(c-4)^2 = (c-4)^2 $. Таким образом, выражение можно переписать как $ (c+4)^2(c-4)^2 $.

Используем свойство степеней $ a^n b^n = (ab)^n $: $ (c+4)^2(c-4)^2 = ((c+4)(c-4))^2 $.

В скобках применяем формулу разности квадратов: $ (c+4)(c-4) = c^2 - 4^2 = c^2 - 16 $.

Возводим полученное выражение в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (c^2 - 16)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 16 + 16^2 = c^4 - 32c^2 + 256 $.

Ответ: $ c^4 - 32c^2 + 256 $.