Номер 892, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Умножение разности двух выражений на их сумму. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 892, страница 178.

892. Решите уравнение:

а) $8m(1 + 2m) - (4m + 3)(4m - 3) = 2m$

Для решения этого уравнения сначала необходимо раскрыть скобки в левой части. Начнем с первого слагаемого $8m(1 + 2m)$. Для этого умножим $8m$ на каждый член внутри скобок:

$8m \cdot 1 + 8m \cdot 2m = 8m + 16m^2$

Далее рассмотрим произведение $(4m + 3)(4m - 3)$. Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = 4m$ и $b = 3$.

$(4m + 3)(4m - 3) = (4m)^2 - 3^2 = 16m^2 - 9$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(8m + 16m^2) - (16m^2 - 9) = 2m$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$8m + 16m^2 - 16m^2 + 9 = 2m$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Члены $16m^2$ и $-16m^2$ взаимно уничтожаются:

$8m + 9 = 2m$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $m$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$8m - 2m = -9$

$6m = -9$

Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на 6:

$m = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $-1.5$.

б) $x - 3x(1 - 12x) = 11 - (5 - 6x)(6x + 5)$

Сначала упростим обе части уравнения, раскрыв скобки. В левой части раскроем скобки $3x(1-12x)$:

$x - (3x \cdot 1 - 3x \cdot 12x) = x - (3x - 36x^2)$

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:

$x - 3x + 36x^2 = -2x + 36x^2$

В правой части уравнения видим произведение $(5 - 6x)(6x + 5)$. Поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы увидеть формулу разности квадратов: $(5 - 6x)(5 + 6x)$. Здесь $a=5$ и $b=6x$, поэтому $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(5 - 6x)(5 + 6x) = 5^2 - (6x)^2 = 25 - 36x^2$

Подставим полученные упрощенные выражения обратно в уравнение:

$-2x + 36x^2 = 11 - (25 - 36x^2)$

Раскроем скобки в правой части, изменив знаки на противоположные:

$-2x + 36x^2 = 11 - 25 + 36x^2$

$-2x + 36x^2 = -14 + 36x^2$

Мы видим, что слагаемое $36x^2$ присутствует в обеих частях уравнения. Вычтем его из обеих частей (или, как говорят, "сократим"):

$-2x = -14$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-2$:

$x = \frac{-14}{-2}$

$x = 7$

Ответ: $7$.