Номер 896, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Умножение разности двух выражений на их сумму. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 896, страница 178.

896. Разложите на множители:

а) 2аbс² − 3ab²с + 4а²bс;
б) 12а²xy³ − 6axy⁵;

в) −15am³n⁴ − 20аm⁴n⁶;
г) −28b⁴с⁵у + 16b⁵с⁶y⁸.

а) Чтобы разложить на множители выражение $2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc$, необходимо найти общий множитель для всех его членов. Для этого определим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и наименьшие степени для каждой переменной, входящей во все члены.

1. Числовые коэффициенты: 2, -3, 4. Их НОД равен 1.

2. Переменная $a$: входит в члены как $a$, $a$, $a^2$. Наименьшая степень – $a^1$ или $a$.

3. Переменная $b$: входит в члены как $b$, $b^2$, $b$. Наименьшая степень – $b^1$ или $b$.

4. Переменная $c$: входит в члены как $c^2$, $c$, $c$. Наименьшая степень – $c^1$ или $c$.

Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, – это $abc$.

Выполним деление каждого члена многочлена на общий множитель:

$2abc^2 : (abc) = 2c$

$-3ab^2c : (abc) = -3b$

$4a^2bc : (abc) = 4a$

Запишем выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:

$2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc = abc(2c - 3b + 4a)$.

Ответ: $abc(2c - 3b + 4a)$.

б) Разложим на множители выражение $12a^2xy^3 - 6axy^5$.

1. НОД для коэффициентов 12 и -6 равен 6.

2. Наименьшая степень переменной $a$ – это $a^1$.

3. Наименьшая степень переменной $x$ – это $x^1$.

4. Наименьшая степень переменной $y$ – это $y^3$.

Общий множитель – $6axy^3$. Вынесем его за скобки:

$12a^2xy^3 - 6axy^5 = 6axy^3(2a) - 6axy^3(y^2) = 6axy^3(2a - y^2)$.

Ответ: $6axy^3(2a - y^2)$.

в) Разложим на множители выражение $-15am^3n^4 - 20am^4n^6$.

1. НОД для коэффициентов -15 и -20 равен 5. Поскольку оба члена отрицательные, удобно вынести за скобки -5.

2. Наименьшая степень переменной $a$ – это $a^1$.

3. Наименьшая степень переменной $m$ – это $m^3$.

4. Наименьшая степень переменной $n$ – это $n^4$.

Общий множитель – $-5am^3n^4$. Вынесем его за скобки:

$-15am^3n^4 - 20am^4n^6 = -5am^3n^4(3) + (-5am^3n^4)(4mn^2) = -5am^3n^4(3 + 4mn^2)$.

Ответ: $-5am^3n^4(3 + 4mn^2)$.

г) Разложим на множители выражение $-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8$.

1. НОД для коэффициентов -28 и 16 равен 4. Чтобы первый член в скобках был положительным, вынесем за скобки -4.

2. Наименьшая степень переменной $b$ – это $b^4$.

3. Наименьшая степень переменной $c$ – это $c^5$.

4. Наименьшая степень переменной $y$ – это $y^1$.

Общий множитель – $-4b^4c^5y$. Вынесем его за скобки:

$-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8 = -4b^4c^5y(7) - 4b^4c^5y(-4bcy^7) = -4b^4c^5y(7 - 4bcy^7)$.

Ответ: $-4b^4c^5y(7 - 4bcy^7)$.