Номер 891, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 891, страница 178.

Условие.

891. Упростите выражение:

Решение 1.

а) 5a(a - 8) - 3(a + 2) (a - 2) =
= 5a² - 40a - 3(a² - 4) =
= 5a² - 40a - 3a² + 12 =
= 2a² - 40a + 12;

б) (1 - 4b) (4b + 1) + 6b(b - 2) =
= (1 - 4b) (1 + 4b) + 6b² - 12b =
= 1 - 16b² + 6b² - 12b =
= 1 - 10b² - 12b;

в) (8p - q) (q + 8p) - (p + q) (p - q) =
(8p - q) (8p + q) - (p² - q²) =
= 64p² - q² - p² + q² = 63p²;

г) (2x - 7y) (2x + 7y) +
+ (2x - 7y) (7y - 2x) =
= 4x² - 49y² - (2x - 7y) (2x - 7y) =
= 4x² - 49y² - (2x - 7y)² =
= 4x² - 49y² - (4x² - 28xy + 49y²) =
= 4x² - 49y² - 4x² + 28xy - 49y² =
= 28xy - 98y².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $5a(a - 8) - 3(a + 2)(a - 2)$

Для упрощения данного выражения мы воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для произведения $(a+2)(a-2)$ и распределительным законом для первого слагаемого.

1. Упростим произведение $(a+2)(a-2)$:

$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

2. Подставим результат в исходное выражение:

$5a(a - 8) - 3(a^2 - 4)$

3. Теперь раскроем скобки:

$5a \cdot a - 5a \cdot 8 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-4) = 5a^2 - 40a - 3a^2 + 12$

4. Приведем подобные слагаемые (члены с $a^2$ и свободные члены):

$(5a^2 - 3a^2) - 40a + 12 = 2a^2 - 40a + 12$

Ответ: $2a^2 - 40a + 12$

б) $(1 - 4b)(4b + 1) + 6b(b - 2)$

Первое произведение $(1 - 4b)(4b + 1)$ является разностью квадратов. Второе слагаемое упростим, раскрыв скобки.

1. Упростим $(1 - 4b)(4b + 1)$. Переставим слагаемые во второй скобке: $(1 - 4b)(1 + 4b)$.

$(1 - 4b)(1 + 4b) = 1^2 - (4b)^2 = 1 - 16b^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

$6b(b - 2) = 6b \cdot b + 6b \cdot (-2) = 6b^2 - 12b$

3. Сложим полученные выражения:

$(1 - 16b^2) + (6b^2 - 12b) = 1 - 16b^2 + 6b^2 - 12b$

4. Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде:

$(-16b^2 + 6b^2) - 12b + 1 = -10b^2 - 12b + 1$

Ответ: $-10b^2 - 12b + 1$

в) $(8p - q)(q + 8p) - (p + q)(p - q)$

Оба произведения в этом выражении являются формулами разности квадратов.

1. Упростим первое произведение $(8p - q)(q + 8p)$. Переставим слагаемые во второй скобке: $(8p - q)(8p + q)$.

$(8p - q)(8p + q) = (8p)^2 - q^2 = 64p^2 - q^2$

2. Упростим второе произведение $(p + q)(p - q)$:

$(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$

3. Подставим результаты в исходное выражение:

$(64p^2 - q^2) - (p^2 - q^2) = 64p^2 - q^2 - p^2 + q^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(64p^2 - p^2) + (-q^2 + q^2) = 63p^2$

Ответ: $63p^2$

г) $(2x - 7y)(2x + 7y) + (2x - 7y)(7y - 2x)$

В данном выражении можно заметить общий множитель $(2x - 7y)$ и вынести его за скобки для упрощения.

1. Вынесем общий множитель $(2x - 7y)$ за скобки:

$(2x - 7y) \cdot ((2x + 7y) + (7y - 2x))$

2. Упростим выражение во вторых (внутренних) скобках:

$2x + 7y + 7y - 2x = (2x - 2x) + (7y + 7y) = 0 + 14y = 14y$

3. Теперь умножим вынесенный множитель на полученный результат:

$(2x - 7y) \cdot 14y = 2x \cdot 14y - 7y \cdot 14y = 28xy - 98y^2$

Ответ: $28xy - 98y^2$