Номер 890, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 890, страница 178.

Условие.

890. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через р одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а другому − среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Решение 1.

Пусть p, p + 1, p + 2 – последовательные целые числа, тогда докажем, что

p(p + 1) (p + 2) + (p + 1) = (p + 1)³

(p + 1) (p(p + 2) + 1) =
= p³ + 3p² ⋅ 1 + 3p ⋅ 1² + 1³

(p + 1) (p² + 2p + 1) =
= p³ + 3p² + 3p + 1

p³ + 2p² + p + p² + 2p + 1 =
= p³ + 3p² + 3p + 1

p³ + 3p² + 3p + 1 =
= p³ + 3p² + 3p + 1, что и требовалось доказать.

Проверим утверждение на примере чисел 19, 20, 21.

19(19 + 1) (19 + 2) + (19 + 1) =
= (19 + 1)³

19 ⋅ 20 ⋅ 21 + 20 = 20³

20(19 ⋅ 21 + 1) = 20³

20 ((20 - 1) (20 + 1) + 1) = 20³

20(400 - 1 + 1) = 20³

20 ⋅ 400 = 8000

8000 = 8000 – верно

Если принять за p среднее из чисел, то получим:

(p - 1) p(p + 1) + p = p³

(p² - 1)p + p = p³

p³ - p + p = p³

p³ = p³.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Проверим утверждение на примере чисел 19, 20, 21.В этой последовательности средним числом является 20.

Сначала найдем произведение трёх этих чисел:

$19 \cdot 20 \cdot 21 = 380 \cdot 21 = 7980$

Затем к полученному произведению прибавим среднее число (20):

$7980 + 20 = 8000$

Теперь найдем куб среднего числа:

$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$

Так как $8000 = 8000$, утверждение для чисел 19, 20, 21 верно.

Ответ: $19 \cdot 20 \cdot 21 + 20 = 7980 + 20 = 8000$; $20^3 = 8000$. Утверждение верно.

2)

Составим выражение и докажем утверждение в общем виде. Рассмотрим два варианта, как предложено в задаче.

Вариант А: наименьшее из чисел обозначено через $p$.

В этом случае три последовательных числа — это $p$, $p+1$ и $p+2$. Средним числом является $p+1$.Сумма их произведения и среднего числа равна:

$p(p+1)(p+2) + (p+1)$

Вынесем общий множитель $(p+1)$ за скобки и упростим выражение:

$(p+1) \cdot [p(p+2) + 1] = (p+1) \cdot [p^2 + 2p + 1]$

Выражение в квадратных скобках является полным квадратом: $p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2$.Тогда всё выражение равно:

$(p+1) \cdot (p+1)^2 = (p+1)^3$

Это куб среднего числа $(p+1)$, что и требовалось доказать.

Вариант Б: среднее из чисел обозначено через $p$.

В этом случае три последовательных числа — это $p-1$, $p$ и $p+1$. Средним числом является $p$.Сумма их произведения и среднего числа равна:

$(p-1)p(p+1) + p$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$p \cdot [(p-1)(p+1) + 1]$

В скобках применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$p \cdot [(p^2 - 1^2) + 1] = p \cdot [p^2 - 1 + 1] = p \cdot p^2 = p^3$

Это куб среднего числа $p$, что и требовалось доказать.

Ответ: Если наименьшее число — $p$, то выражение $p(p+1)(p+2) + (p+1)$ преобразуется к $(p+1)^3$. Если среднее число — $p$, то выражение $(p-1)p(p+1) + p$ преобразуется к $p^3$. В обоих случаях утверждение доказано.

3)

Преобразования, выполненные в обоих вариантах пункта 2, верны, так как они приводят к одному и тому же результату — кубу среднего числа.

Сравним сложность этих двух подходов:

Первый подход (когда $p$ — наименьшее число) требует вынесения общего множителя, раскрытия скобок и распознавания формулы квадрата суммы. Эти шаги не очень сложны, но требуют нескольких действий.

Второй подход (когда $p$ — среднее число) после вынесения общего множителя использует формулу разности квадратов. Это приводит к почти мгновенному упрощению выражения в скобках ($p^2 - 1 + 1 = p^2$), что делает вычисления короче и изящнее.

Таким образом, второй способ решения, где за переменную обозначается среднее число, можно считать более простым и рациональным.

Ответ: Оба способа преобразований верны. Способ, в котором за $p$ обозначается среднее число, является менее сложным и более быстрым благодаря применению формулы разности квадратов.