Номер 890, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, оранжевый, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-102535-4, 978-5-09-110804-0
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
34. Умножение разности двух выражений на их сумму. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 890, страница 178.
№890 (с. 178)
Условие. №890 (с. 178)
скриншот условия

890. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через р одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а другому − среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.
Решение 1. №890 (с. 178)

Решение 2. №890 (с. 178)

Решение 3. №890 (с. 178)

Решение 4. №890 (с. 178)


Решение 5. №890 (с. 178)
1)
Проверим утверждение на примере чисел 19, 20, 21.В этой последовательности средним числом является 20.
Сначала найдем произведение трёх этих чисел:
$19 \cdot 20 \cdot 21 = 380 \cdot 21 = 7980$
Затем к полученному произведению прибавим среднее число (20):
$7980 + 20 = 8000$
Теперь найдем куб среднего числа:
$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$
Так как $8000 = 8000$, утверждение для чисел 19, 20, 21 верно.
Ответ: $19 \cdot 20 \cdot 21 + 20 = 7980 + 20 = 8000$; $20^3 = 8000$. Утверждение верно.
2)
Составим выражение и докажем утверждение в общем виде. Рассмотрим два варианта, как предложено в задаче.
Вариант А: наименьшее из чисел обозначено через $p$.
В этом случае три последовательных числа — это $p$, $p+1$ и $p+2$. Средним числом является $p+1$.Сумма их произведения и среднего числа равна:
$p(p+1)(p+2) + (p+1)$
Вынесем общий множитель $(p+1)$ за скобки и упростим выражение:
$(p+1) \cdot [p(p+2) + 1] = (p+1) \cdot [p^2 + 2p + 1]$
Выражение в квадратных скобках является полным квадратом: $p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2$.Тогда всё выражение равно:
$(p+1) \cdot (p+1)^2 = (p+1)^3$
Это куб среднего числа $(p+1)$, что и требовалось доказать.
Вариант Б: среднее из чисел обозначено через $p$.
В этом случае три последовательных числа — это $p-1$, $p$ и $p+1$. Средним числом является $p$.Сумма их произведения и среднего числа равна:
$(p-1)p(p+1) + p$
Вынесем общий множитель $p$ за скобки:
$p \cdot [(p-1)(p+1) + 1]$
В скобках применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$p \cdot [(p^2 - 1^2) + 1] = p \cdot [p^2 - 1 + 1] = p \cdot p^2 = p^3$
Это куб среднего числа $p$, что и требовалось доказать.
Ответ: Если наименьшее число — $p$, то выражение $p(p+1)(p+2) + (p+1)$ преобразуется к $(p+1)^3$. Если среднее число — $p$, то выражение $(p-1)p(p+1) + p$ преобразуется к $p^3$. В обоих случаях утверждение доказано.
3)
Преобразования, выполненные в обоих вариантах пункта 2, верны, так как они приводят к одному и тому же результату — кубу среднего числа.
Сравним сложность этих двух подходов:
Первый подход (когда $p$ — наименьшее число) требует вынесения общего множителя, раскрытия скобок и распознавания формулы квадрата суммы. Эти шаги не очень сложны, но требуют нескольких действий.
Второй подход (когда $p$ — среднее число) после вынесения общего множителя использует формулу разности квадратов. Это приводит к почти мгновенному упрощению выражения в скобках ($p^2 - 1 + 1 = p^2$), что делает вычисления короче и изящнее.
Таким образом, второй способ решения, где за переменную обозначается среднее число, можно считать более простым и рациональным.
Ответ: Оба способа преобразований верны. Способ, в котором за $p$ обозначается среднее число, является менее сложным и более быстрым благодаря применению формулы разности квадратов.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 890 расположенного на странице 178 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №890 (с. 178), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.