Номер 895, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 895, страница 178.

Условие.

895. Докажите тождество:
а) (а + b)² − 4аb = (а − b)²;
б) (а − b)² + 4аb = (а + b)²;
в) (х + 3)³ + (х − 3)³ = 2х³ + 54х.

Решение 1.

а) (а + b)² − 4аb =
= a² + 2ab + b² - 4ab =
= a² - 2ab + b² = (а − b)²;

б) (а − b)² + 4аb =
= a² - 2ab + b² + 4ab =
= a² + 2ab + b² = (а + b)²;

в) (х + 3)³ + (х − 3)³ =
= x³ + 3x² ⋅ 3 + 3x ⋅ 3² + 3³ +
+ x³ - 3x² ⋅ 3 + 3x ⋅ 3² - 3³ =
= 2x³ + 27x + 27x = 2x³ + 54x.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a + b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a - b)^2 + 4ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + 4ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x$, преобразуем его левую часть. Используем формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Раскроем каждую скобку по отдельности:

$(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) + (x^3 - 9x^2 + 27x - 27)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 + x^3) + (9x^2 - 9x^2) + (27x + 27x) + (27 - 27) = 2x^3 + 0 + 54x + 0 = 2x^3 + 54x$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.