Номер 894, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 894, страница 178.

Условие.

894. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

а) 1 − 4хy + 4х²y²; б) 14а²b² + ab + 1.

Решение 1.

а) 1 - 4xy + 4x²y² = (1 - 2xy)²;

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{1}{4}{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2+\mathrm{ab}+1=$

$={\left(\frac{1}{2}\mathrm{ab}\right)}^2+2·\frac{1}{2}\mathrm{ab}·1+1^2=$

$={\left(\frac{1}{2}\mathrm{ab}+1\right)}^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $1 - 4xy + 4x^2y^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении мы можем выделить следующие части, соответствующие этой формуле:

Первый член $a^2$ — это $1$, что является квадратом числа $1$. Значит, $a = 1$.

Третий член $b^2$ — это $4x^2y^2$, что является квадратом выражения $2xy$. Значит, $b = 2xy$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражения удвоенному произведению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot 1 \cdot (2xy) = 4xy$.

В исходном выражении средний член равен $-4xy$, что соответствует $-2ab$. Таким образом, выражение полностью совпадает с развернутой формулой квадрата разности.

Следовательно, мы можем записать:

$1 - 4xy + 4x^2y^2 = (1)^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2xy) + (2xy)^2 = (1 - 2xy)^2$.

Ответ: $(1 - 2xy)^2$.

б) Чтобы представить выражение $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении мы можем выделить следующие части, соответствующие этой формуле:

Первый член $a^2$ — это $\frac{1}{4}a^2b^2$, что является квадратом выражения $\frac{1}{2}ab$. Значит, $a = \frac{1}{2}ab$.

Третий член $b^2$ — это $1$, что является квадратом числа $1$. Значит, $b = 1$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражения удвоенному произведению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 = ab$.

В исходном выражении средний член равен $ab$, что соответствует $2ab$. Таким образом, выражение полностью совпадает с развернутой формулой квадрата суммы.

Следовательно, мы можем записать:

$\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1 = (\frac{1}{2}ab)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 + (1)^2 = (\frac{1}{2}ab + 1)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}ab + 1)^2$.