Номер 903, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 903, страница 180.

Условие.

903. Найдите значение дроби:

а) 3613² − 11²; б) 79² − 65²420; в) 53² − 27²79² − 51²; г) 53² − 32²61² − 44².

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{36}{{13}^2-{11}^2}=\frac{36}{(13-11) (13+11)}=$

$=\frac{36}{2·24}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4};$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{{79}^2-{65}^2}{420}=\frac{(79-65) (79+65)}{420}=$

$=\frac{14·144}{420}=\frac{1·144}{30}=\frac{48}{10}=4,8;$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{{53}^2-{27}^2}{{79}^2-{51}^2}=\frac{(53-27) (53+27)}{(79-51) (79+51)}=$

$=\frac{26·80}{28·130}=\frac{26·8}{28·13}=\frac{2·2}{7·1}=\frac{4}{7};$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \frac{{53}^2-{32}^2}{{61}^2-{44}^2}=\frac{\left(53-32\right) \left(53+32\right)}{\left(61-44\right) \left(61+44\right)}=$

$=\frac{21·85}{17·105}=\frac{1·5}{1·5}=1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{36}{13^2 - 11^2}$, преобразуем её знаменатель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим знаменатель: $13^2 - 11^2 = (13 - 11)(13 + 11) = 2 \cdot 24 = 48$.

Теперь подставим полученное значение в дробь и сократим её:

$\frac{36}{48} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{79^2 - 65^2}{420}$, преобразуем её числитель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим числитель: $79^2 - 65^2 = (79 - 65)(79 + 65) = 14 \cdot 144$.

Подставим полученное значение в дробь и сократим её:

$\frac{14 \cdot 144}{420} = \frac{14 \cdot 144}{14 \cdot 30} = \frac{144}{30} = \frac{24 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{5}$.

Ответ: $\frac{24}{5}$.

в) Чтобы найти значение дроби $\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}$, преобразуем её числитель и знаменатель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \cdot 80$.

Вычислим знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \cdot 130$.

Подставим полученные значения в дробь и сократим её:

$\frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} = \frac{(2 \cdot 13) \cdot 80}{(2 \cdot 14) \cdot (10 \cdot 13)} = \frac{80}{14 \cdot 10} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{53^2 - 32^2}{61^2 - 44^2}$, преобразуем её числитель и знаменатель с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Вычислим числитель: $53^2 - 32^2 = (53 - 32)(53 + 32) = 21 \cdot 85$.

Вычислим знаменатель: $61^2 - 44^2 = (61 - 44)(61 + 44) = 17 \cdot 105$.

Подставим полученные значения в дробь и сократим её, предварительно разложив числа на множители:

$\frac{21 \cdot 85}{17 \cdot 105} = \frac{21 \cdot (5 \cdot 17)}{17 \cdot (5 \cdot 21)} = \frac{21 \cdot 5 \cdot 17}{17 \cdot 5 \cdot 21} = 1$.

Ответ: $1$.