Номер 910, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 910, страница 181.

Условие.

910. Представьте выражение в виде произведения:

а) (х + 3)² − 1;
б) 64 − (b + 1)²;

в) (4а − 3)² − 16;
г) 25 − (а + 7)²;

д) (5у − 6)² − 81;
е) 1 − (2х − 1)².

Решение 1.

а) (х + 3)² − 1 =
= (x + 3 - 1) (x + 3 + 1) =
= (x + 2) (x + 4);

б) 64 − (b + 1)² = 8² - (b + 1)² =
= (8 - (b + 1) (8 + (b + 1) =
= (8 - b - 1) (8 + b + 1) =
= (7 - b) (9 + b);

в) (4а − 3)² − 16 = (4a - 3)² - 4² =
= (4a - 3 - 4) (4a - 3 + 4) =
= (4a - 7) (4a + 1);

г) 25 − (а + 7)² = 5² - (a + 7)² =
= (5 - (a + 7) (5 + (a + 7) =
= (5 - a - 7) (5 + a + 7) =
= (-a - 2) (12 + a) =
= -(a + 2) (a + 12);

д) (5у − 6)² − 81 = (5y - 6)² - 9² =
= (5y - 6 - 9) (5y - 6 + 9) =
= (5y - 15) (5y + 3) =
= 5(y - 3) (5y + 3);

е) 1 − (2х − 1)² =
= (1 - (2x - 1)) (1 + (2x - 1)) =
= (1 - 2x + 1) (1 + 2x - 1) =
= 2x(2 - 2x) = 2 ⋅ 2x(1 - x) =
= 4x(1 - x).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а)

Представим выражение $(x + 3)^2 - 1$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = x+3$, а $b = 1$, так как $1 = 1^2$.

Применяем формулу:

$(x + 3)^2 - 1^2 = ((x + 3) - 1)((x + 3) + 1)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4)$

Ответ: $(x + 2)(x + 4)$.

б)

Представим выражение $64 - (b + 1)^2$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 8$, так как $64 = 8^2$, а $b = b+1$.

Применяем формулу:

$8^2 - (b + 1)^2 = (8 - (b + 1))(8 + (b + 1))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(8 - b - 1)(8 + b + 1) = (7 - b)(9 + b)$

Ответ: $(7 - b)(b + 9)$.

в)

Представим выражение $(4a - 3)^2 - 16$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 4a-3$, а $b = 4$, так как $16 = 4^2$.

Применяем формулу:

$(4a - 3)^2 - 4^2 = ((4a - 3) - 4)((4a - 3) + 4)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(4a - 3 - 4)(4a - 3 + 4) = (4a - 7)(4a + 1)$

Ответ: $(4a - 7)(4a + 1)$.

г)

Представим выражение $25 - (a + 7)^2$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 5$, так как $25 = 5^2$, а $b = a+7$.

Применяем формулу:

$5^2 - (a + 7)^2 = (5 - (a + 7))(5 + (a + 7))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(5 - a - 7)(5 + a + 7) = (-a - 2)(a + 12)$

Ответ: $(-a - 2)(a + 12)$.

д)

Представим выражение $(5y - 6)^2 - 81$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 5y-6$, а $b = 9$, так как $81 = 9^2$.

Применяем формулу:

$(5y - 6)^2 - 9^2 = ((5y - 6) - 9)((5y - 6) + 9)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(5y - 6 - 9)(5y - 6 + 9) = (5y - 15)(5y + 3)$

Для полного разложения на множители вынесем общий множитель 5 из первой скобки:

$5(y - 3)(5y + 3)$

Ответ: $5(y - 3)(5y + 3)$.

е)

Представим выражение $1 - (2x - 1)^2$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 1$, так как $1 = 1^2$, а $b = 2x-1$.

Применяем формулу:

$1^2 - (2x - 1)^2 = (1 - (2x - 1))(1 + (2x - 1))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(1 - 2x + 1)(1 + 2x - 1) = (2 - 2x)(2x)$

Для полного разложения на множители вынесем общий множитель 2 из первой скобки и перемножим:

$2(1 - x)(2x) = 4x(1 - x)$

Ответ: $4x(1 - x)$.